O — — IJ

en observaut que K. = K, pour p = pt.

Donc la fonction F contribue deux fois à l'ondulation dans le meme point x, jr, z . La premiere ondulation se propage suivant les lots des ondes dans une atmosphere illimitée de tons côtés : c’est l'ondulation directe. La seconde ondulation, ou l’ondulation réfléchie, produit des ondes dont les formes et les lois de la propagation sont celles qui ont lieu pour des ondes provenant d’une onde initiale identique par la forme et les dimensions, avec l’onde initiale réelle, mais située de l'autre côté du plan réfléchissant et symétrique avec cette derniere. Des conclusions pareilles se rapportent aux fonctions X, Y. Z

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THÉORÈME SUR L’ÉQUATION dx' -+- dy * -+- di% — X {do? -t- r/jS* -+- r/y1);

Pa* J. LIOUVILLE

La transformation par rayons vecteurs réciproques, dont M William Thomson s’est servi avec tant de succès dans ses Recherches de Physique mathématique, fournit, comme on sait, une solution de l’équation

dx1 •+- dy* -t- dz‘ — X {do? ■+■ dfi* +- dy a) ,

où X, jc, y, z sont fonctions des variables indépendantes «, (5, y, el de laquelle dépend la représentation géographique des corps dans l’espace, dont j’ai dit un mot à la page aao du tome XIII de ce JournaJ. J'ajoute ici que l’équation citée ne comporte aucune autre solution, en comprenant, bien entendu, comme on le peut, dans la généralité des formules, les valeurs de x, y, z, linéaires en a, jS, y, qui s’offrent d’elles-métnes lorsque X est une constante; théorème important et qui remplit une lacune dans la science.

Le principe sur lequel je m’appuie pour établir ce théorème (principe consistant en ce que l'équation d. r’-t- dy' -f- dz*=du*+ dv' 4- </iv* ne donne pour x, y, z que des valeurs linéaires en u, e, w) m'a aussi permis de simplifier, sans en changer en rien l’esprit, et pour ainsi dire en y supprimant seulement des détails superflus, la démonstration de M. Lamé pour les surfaces orthogonales isothermes ( tome VI 11, page 397): cette démonstration pourra désormais être comparée sans désavantage à celle toute différente de M. Bonnet (tome XIV, page 401).