SUR LES SURFACES DU SECOND ORDRE
P*n M. l’Abbé SOUFFLET.
Aperçu historique. — Comparaison des méthodes.
Euler a le premier Iraité des surfaces du second ordre dans son célébré ouvrage Jnlrod. in Analys. in/in. Il a fait voir que toutes les tonnes sous lesquelles s’oITrent les surfaces représentées par l’équation du second degré pouvaient se réduire à cinq , qu’elles avaient un centre et trois axes principaux rectangulaires; il a indiqué le cas dans lequel le centre s’éloigne à l’infini.
Cinquante années s’écoulèrent sans que cette belle discussion reçût aucun développement nouveau. Enfin l’illustre Monge, que M. Hachette aidait dans ses travaux, reprit l’examen approfondi des surfaces du second ordre. Ces deux géomètres entrèrent plus complètement qu’Euler lui-méme dans tout le détail de la classification de ces surfaces et de leurs propriétés fondamentales. Ils apprirent à trouver les sections rectilignes entrevues déjà par quelques géomètres, et les sections circulaires indiquées par d’Alembert , et ils démontrèrent que les surfaces du second degré pouvaient être engendrées, soit par le mouvement réglé d’un cercle variable de rayon, soit, pour quelques-unes d’entre elles, par le mouvement d’une ligne droite.
Plusieurs élèves de l’École Polytechnique, que Monge et Hachette avaient initiés à ces premières notions, marchèrent à leur tour dans cette voie nouvelle, et poussèrent très-loin la recherche des propriétés des surfaces du second ordre. Nous citerons en particulier MM. J Binet, Petit , Livet.
Plus tard , M. Cauchy eut l’idée heureuse et féconde de couper la surface du second degré par des droites issues d’un même point, et de fonder ainsi toute la théorie sur l'équation ires-simple sr*-+- 2 tr u = k ,
dans laquelle r est le rayon vecteur mené du point fixe à la surface, .« , t, u des fonctions des cosinus des angles que fait le rayon vecteur avec les trois axes rectangulaires et des coordonnées du point fixe,
PURES ET APPLIQUÉES. io5
et k un coefficient constant. Ce mode de discussion simple, naturel et éminemment remarquable, ouvrait une ère nouvelle à l’étude des surfaces du second degré. On en déduit immédiatement l'équation des plans diamétraux, les équations du centre, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un plan diamétral soit perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux .parties égales, l'équation du troisième degré qui donjie les directions des axes et des plans diamétraux principaux et les longueurs des carrés des demi-axes principaux.
M. Cauchy démontra encore directement la réalité des racines de l’équation caractéristique des axes principaux , en faisant remarquer que son premier membre changeait trois fois de signe entre des limites connues; et montra, en même temps que M. l’abbé Moigno. que l’équation du plan tangent se déduisait immédiatement des deux équations
Il est grandement à regretter que M. Cauchy, emporté par des recherches d’un plus haut intérêt, n’ait pas tiré de l'équation
sr * -t- a //• -t- u = k
tout le parti possible; car cette équation, comme M. l’abbé Moigno l'a remarqué dans la préface à ses Leçons de calcul différentiel, contient la théorie complète des surlaces du second degré, et doit conduire, par la voie la plus large et la plus droite, à la connaissance de toutes leurs propriétés.
En (836, M. Saint-Guiiheni , ingénieur des Ponts et Chaussées, reprit, dans un Mémoire inséré au Journal de M. Liouville, la détermination des plans principaux des surfaces du second degré rapportées à trois axes quelconques; c’était une généralisation naturelle de la méthode de M. Cauchy, et un moyen d’établir, d'une manière plus courte et plus élémentaire, les théorèmes de M. Binet sur les relations qui lient les demi-axes principaux à trois <lenii-diaiuètres conjugués quelconques, théorèmes que M. Saint-Cuillicm étendit, en les modifiant, au paraboloïde hyperbolique.
En rappelant le beau travail de Monge sur les lignes tie courbure de l’ellipsoïde, et la première étude des foyers faite par M. Chasles, Tome XV. — Mut i85o. >4
io6 journal de mathématiques
nous aurons tracé avec assez de détails l'histoire des travaux qui ont eu les surfaces du second degré pour objet, et que M. Leroy a développés dans son Traité de l’analyse appliquée à la géométrie.
Ce Traité éminemment classique ne laisse rien à désirer quant à l’énoncé des théorèmes et à la rigueur des démonstrations ; mais il n’est personne qui , en le lisant et en étudiant consciencieusement les divers et nombreux Mémoires analysés dans cette Notice historique, n’ait vivement regretté de voir que l’on ne soit arrivé jusqu’ici à éta blir l'ensemble de toutes les propriétés des courbes et des surfaces du second degré qu'en recourant tour à tour à une multitude de restrictions, à des procédés indépendants les uns des autres, etc. On désirait depuis longtemps que, sans rien supposer sur la nature des axes au point de départ, que sans changement de coordonnées, etc., on pût arriver à mettre en évidence, par des considérations géométriques saillantes et des formules peu compliquées, la nature des surfaces du second degré, leur séparation immédiate, leur centre, leurs plans diamétraux, leurs axes, leurs plans tangents, les sections rectilignes et circulaires, les cônes et cylindres tangents et asymptotiques, les foyers, etc. Or tel est le but que nous avons voulu atteindre et que nous croyons avoir atteint en substituant à une analyse multiple une analyse uniforme qui puise dans sa généralité même un plus grand degré d’élégance et de clarté. Il n’est pas une des propriétés des surfaces du second degré qui ne se déduise par des raisonnements élémentaires de l’équation si simple
sr* -4- a tr -t~ u = o ,
sorte de lien universel, qui enchaîne tout, amène tout, rappelle tout, etc., etc. Dans l'ancienne méthode, cesdiverses propriétés étaient comme étrangères l’une à l’autre; elles ne se supposaient pas mutuellement; il fallait tour à tour deviner, reconnaître et démontrer chacune d’entre elles par un tour de force particulier. Aujourd’hui, elles sont étroitement unies, elles se donnent la main, ou mieux , elles se montrent d’elles-mèmcs, et on les retrouvera bon gré mal gré en égalant à zéro un ou plusieurs des coefficients J, t , u, et des fonctions de ces coefficients qui, séparés et réunis, ont des significations précises qu’il est impossible de méconnaître.
§ II
Notions préliminaires. — Coordonnées. — Plan. — Pâleurs limites.
1. Nous croyons utile d’établir d’abord quelques principes sur lesquels il faudra nous appuyer plus tard.
Concevons dans l’espace trois axes quelconques OX, OY, OZ et une droite indéfinie; prenons sur cette droite deux points (x,,jr,, z ,), x, jr, z), et sur la distance p, qui les sépare, une longueur égale à l’unité. En désignant les projections de cette unité sur les axes par /», (/, r, on aura cette suite de rapports égaux :
(1) ^Z± = Z=li=^ = t,
ou bien les équations
X = X, + pp, y=y, + qp, z = z,+ rp.
Il est essentiel d'observer:
i°. Que les quantités p, q, r sont liées entre elles pai la relation (a' p * -t- 17’ -+- r2 ■+■ zqrco»[q, r)+orp cos (r, p) H- a/w/cos(/>, q) = 1 ;
a°. Que la direction d’une ligne droite sera déterminée par les protections p, q, r de l’unité de longueur prise sur cette ligne, ou seulement par les rapports ^ de ces mêmes projections.
<i. Supposons qu’on nous donne un plan; abaissons de l’origine sur ce plan une perpendiculaire qui fasse avec les axes des angles a, S. y et rencontre le plan à une distance il : en projetant orthogonalement sur cette perpendiculaire les coordonnées x, j-, z d’un point quelconque du plan donné, nous aurons l’équation
(1 ; x cos a -1 -y cos S h- z cos y = d,
dont tous les coefficients ont une signification géométrique, bien que les axes ne soient pas rectangulaires.
Les cosinus des angles a, ë, y, relatifs à la droite d , dépendent de p.q. 1 : en projetant, en effet, ortbogunalement, sur chacun de?,
io8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
axes l’unité «le longueur prise sur la droite d , on obtient les relations suivantes :
cos a = p -t- q cos ( p , q) -t- r cos ( r, p), cos S = q -+- r cos ( q , r) -+- p cos (p, q) , cos y = r -h p cos [r, p) -h q cos (q, r).
Recherchons maintenant les conditions «le perpendicularité d’un plan quelconque
(a) A x -e By + Cz + D = o,
sur une droite donnée p, q , r. Pour y parvenir, exprimons d’abord «]ue le plan (a) est parallèle au plan (i) ou qu’il est perpendiculaire a la droite d , en posant
ros oi cos <j ros y ’
puis éliminons cos a, cosë, cosy à l'aide des relations précédentes; nous trouverons ainsi les conditions demandées
P +'! ros (p, q) ■+■ rcos (r,p)
q -t- rcOS(q, r) + p COS [p, q)
r -H p cos {r, p) -h q cos (ç, r)
En éliminant x,j, z de l’équation (a) au moyen de leurs valeurs en coordonnées polaires (t), n° 1 , on obtiendra
(kp+ B q -t- Cr)p -t- Ax, -t- R y, -I- Cz, -t-D = o ;
or si l’on fait simultanément
(4; Ax, -4- Bj, -t- Ci, + D = o, \p -t- B«/ -+- O = o,
le rayon p devenu indéterminé se confondra tout entier avec la surface (a); ce qui montre à la fois que cette surface est réellement un plan , et que les équations (4) expriment la coïncidence de ce plan avec une droite p, q , r quelconque.
Quand on pose seulement
A p -+- B<7 -+- Cr = o,
le rayon p devient infini, et, par conséquent, parallèle au plan (a); nous avons donc, dans cette dernière équation, la condition du paiallélisme d'une droite et d’un plan.
Déterminons enfin le volume d’un parallélipipède en fonction de ses arêtes p, q, r; ce volume étant égal au produit de l’arête r par la section droite, correspondante, on aura, en désignant par R le diedre dont l'arête est r,
vol (p, q, r) =. r. p sin ( p, r).q sin (q, r) . sin R .
Mais, en vertu d’une formule connue de trigonométrie, on a sin (p, r) . sin (q, r).sin R = y1! — cos’ ( p , q)
donc
vol [p, q, r)
■= p q ' V I — COS’ (/y, q) — cm’{q,r) — cai'(r,p) -h 2 cos [p, q) cos (9, r)c<*(r,p).
5. Si une tonction f (p) entière et algébrique est assujettie à la condition f (e) = ou > o, en sorte que l’on ail y(e) = u étant réel; aiors les racines réelles et inégales de l’équation ç(p) = o, seront des valeurs maximum ou minimum de e, considéré comme fonction de u.
En effet, soient p' une de ces racines et h un accroissement infiniment petit, en posant v = p' -t- A, on trouvera
y {v) — f (p' -t- h) = y(y') -+- Ay'(p') -t-....
Or, par hypothèse, on a ^ (p) > o, y(y’) = o, et h est infiniment petit; donc, le terme h. y' (p') est essentiellement positif, et, par suite. h et y' (p') sont toujours de même signe; donc à partir de la valeur o', p ne peut que diminuer si ÿ (d) est < o, et ne peut qu’augmenter si y' (»/) est > o; donc enfin la racine p' est une valeur maximum ou minimum de p, selon que ç'^jest négative ou positive.
On prouverait de la même manière que les racines égales, dont le nombre est impair, jouissent de la même propriété que la racine
no JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
simple v' . Avant de passer à l’analyse des surfaces du second ordre, qui font le principal objet de ce travail , nous ferons encore remarquer que nous comprenons les valeurs maximum et minimum sous la dénomination commune de valeurs limites.
