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Transformation de l’équation du second degré à trois variables. — Plans diamétraux. — Classification. — Centre.

i. L' equation générale du second degré à trois variables, rapportée à des axes quelconques, peut se mettre sous la forme

i ax 1 + a'y1 -+• a" z* a byz -+- a b'zx ■+- a b" xy | -+- a ex -f- a c'y -t- a c“z -t- d = u = o.

En substituant aux coordonnées x , y, z , dans cette équation, leurs valeurs en coordonnées polaires

x = x,+pp, y=y,+ qp, z=z,-hrp,

on obtient

(a) - s p* -ç a tp -+- u, = o.

en faisant , pour abréger,

s = ap ’ -(- a'q1 -t- a" r1 -t- ibqr-+- ai' rp -t- a b" p<j,

t - (ax, -t- b' z, +• b" y, -t- c) p -+- (a'y, -+- bz, -t- b". v, -t- c') q -t- (a“z, -h by, -t- b'x, -t- c") r = \,p -t- Y ,q ■+■ Z,r.

u, = ax J -f- a'y J -I - a" z1 + iby,z, -t- ob'z,x, ■+■ a b’x, y,

-t- a ex, -t- ae'j', -t- a <fz,-h d:

I, ’équation (a) sera le point de départ de notre analyse des surfaces du second ordre.

5. Un plan diamétral étant celui qui divise en parties égales un système de cordes parallèles à une droite donnée p , q , r, pour déduire ce plan de l'équation

sp ’ -f- a t p -l- u, — o,

il suffit de poser

ou , ce qui est la même chose ,

•ap 4- b' r -t- b"q)x, 4- [d q 4 - br + b"p)y, 4- ( <fr -t- bq 4- b'p) z, 4- cp -+- c’q 4- c"/' = o.

En effet , si nous faisons glisser le pôle x,, y,, z, sur le plan (1) sans faire varier/», q, r, tous les rayons vecteurs p resteront parallèles entre eux , et leurs valeurs tirées de l’équation

sp* -t- U, = o

seront deux à deux égales et de signe contraire; donc l’équation (1 représente un plan diamétral.

Si les coefficientsj de ce plan ou des quantités proportionnelles à ces coefficients étaient donnés à priori , on en déduirait sans peine la direction p, q, r des cordes conjuguées correspondantes.

Soient maintenant deux plans diamétraux

{ap 4-...)x,+ ( a’q ■+■...)/, -t- (a" r -t-...)*, 4- cp 4- dq -t- c“ r = o, lap' 4- [dq' 4- (a"r' + ...) z, 4- cp' 4- dq'-h c“ r' — o;

chacun d’eux sera parallèle aux cordes conjuguées de l’auti^e, si les paramètres p, q, r et p', q', r' de ces cordes vérifient simultanément les deux conditions ,

(1 ap 4-...)/»' 4- ' a'q 4-...) q[ 4- (a" r 4-...) r'— o,

[ap' p 4- [dq' 4-...) <7 4- [a"r' 4-...) r = o;

or ces conditions de parallélisme peuvent être vérifiées d’une infinité île manières, puisqu’elles se ramonent à une seule; donc, à un même plan diamétral donné correspond une infinité de plans diamétraux conjugués.

Cela posé, concevons deux plans diamétraux réciproquement conjugués; prenons pour axe des z le diamètre déterminé par leur intersection; enfin supposons que le plan des xy soit parallèle à leurs cordes conjuguées: d’apres cette disposition, les cordes conjuguées

iiï JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

aux plans zy et zx étant respectivement parallèles aux axes des x et des^, l' équation (t), n° 4, des surfaces du second ordre deviendra, sans rien perdre de sa généralité,

(a? Par1 -+- P'j'1 -+- P* zs 4- i Q z -+- H = o ,

d’où l'on conclut tpie toutes les sections planes de ces surfaces seront ries ellipses ou des hyperboles. Cependant si le diamètre formé par l'intersection de Taxe des z avec la surface est infini, le coefficient P s’évanouira, et alors les sections planes parallèles à ce diamètre seront des paraboles.

Ainsi donc, d’après la nature des sections déduites de l’équation (a), les surfaces du second ordre peuvent se diviser en cinq genres principaux : ellipsoïdes, byperboloïdes à une et à deux nappes, paraboloides elliptiques et hyperboliques.

6 Pour reconnaître si ces différents genres de surfaces sont doués de centre, il faut essayer de réduire leur équation polaire à

eu posant

afin que, connue l’exige la nature du centre, les rayons diamétralement opposés soient égaux entre eux ; mais pour que cela ait lieu dans toutes les directions possibles, il faut évidemment que la condition

a laquelle est assujettie la direction de p, soit identique: nous aurons donc pour les équations du centre,

Le dénominateur commun D des expressions des coordonnées du centre x,. y,, z, se présente sous la forme

ah1 -t- a' h'1 -t- n“ b"1 — aa'a’ — ibfr b" :

s'il n’est pas nul , les valeurs des coordonnées étant alors finies et determinres. il y aura un centre unique; mais, dans le cas contraire,

PURES ET APPLIQUÉES. m3

le centre sera impossible ou deviendra indéterminé; il y aura, dans ce dernier cas, une infinité de centres situés sur une même droite ou un même plan.

En prenant le centre pour origine des coordonnées, l’équation (a), n° », se ramène aux suivantes :

desquelles on conclut que les ellipsoïdes et les hyperboloïdes sont seuls doués de centre.

I-es genres les plus remarquables des surfaces dénuées de centre, ou dont les diamètres sont infinis, sont renfermés dans l’équation

nous ne dirons rien pour le moment des autres cas.