IV
Plans principaux. — Equation du troisième degré.
7. Voyons s’il n’existe pas de plans diamétraux perpendiculaires a leurs cordes conjuguées. D’après les conditions (3), n° 2, pour rendre les cordes p, q, r perpendiculaires à leur plan diamétral (t), n° 5, il suffit de poser les relations
ap -t- b"q -+• b' r a' 7 -+- br -+- b" p a"r+bq + b'p s
p + q cos pq -+- r cos rp 7 -t- rcos r/r -f- p cos pq r -+- p cos rp -+- 7 cos rq 7 '
le dernier membre - se forme en multipliant respectivement par p, q, r
les deux termes de chacun des rapports précédents, et en divisant la somme des antécédents par celle des conséquents.
Maintenant faisons, pour abréger,
a — s— A,..., b — s cos {q, r) = B,.. ,
nous obtiendrons ainsi les équations
l/i+B'^ + BV = o, R" p -t- A' 17 -t- Br = o, B'/i+ + A'r= o.
Des deux premières nous tirerons, pour déterminer la direction des Terne XV. — Mi*» i85o. I 5
i ■ 4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
cordes principales, les relations
1 A B — B' B" fi A' B' — BB"
r ~ B"* — AA' ’ r B*’ — AA' ’
et ces valeurs, substituées dans la troisième (‘quation, donneront pour calculer s l’équation
ABJ -+- A' B" -I- A "B"’ - AÀ'A' - a BB' B' = o , qui peut être mise sous la forme (a) L#* -t- Mf1 + N* + D = o.
8. Pour que la discussion de l’équation précédente ne dépende que de son dernier terme D, commençons par discuter la lbuctiou
(t ) s = ap% -f- a'q* -t- a" r 4 -+- a bqr -i b' rp - +- a b" pi/ ,
après l’avoir divisée préalablement par p* -4- q1... — i . Nous trouverons alors, en supposant a > o, que s est positif, si l’on a, quels que soient </, r,
fa) (A"’ — ad) q* -4- (A” — aa“) r 1 -4- a (A' A" — ab) qr < o ;
or cette condition entraîne nécessairement les suivantes :
(3) A'J — an' < o et (ab — b' b")' — (A”1 — an') (b'* — an" ) <, o,
donc , à cause de
«A’ -t- a' h'* -+- a" b"1 — aal a" - a AA'A” = D ,
on aura
si
a > o , A" — aa' < o , D < o.
Dans le cas particulier où
D = o et A*’ — aa' < o ,
l’inégalité (a) subsiste encore; mais comme elle peut alors passer par zéro, il en résulte que, si
a > o, A"’ — aa! < o D = o,
PURKS ET APPLIQUÉES.
on lim a
