S = OU > O

En supposant

b"7 — tut' > o et 1) < o ,

ou bien seulement

nous conclurons tie l’inégalité (a) que, flans ces deux cas, on a

s > ou '< o.

Il en sera de même si

D = o et A"1 — ad > o.

A l’inspection du second polynôme (3), on voit que les binômes** (4) b"1 — ad, b'7 — ad', b 1 — d a", .

sont nécessairement de même signe dans les deux cas D < o el D =o, à cette différence prés que, dans le second cas, ils peuvent être nuis tous ou quelques-uns d’entre eux. Les signes des mêmes binômes restent quelconques lorsque D > o.

Remarquons encore que les trois équations

D = o, h ** — ad = o , b'1 — aa" = o ,

entraînent

ab — b' b" — o,

et, par suite.

donc, quand les binômes (4) seront nuis, 1) sera lili-méuie nul, de sorte que l’on sera dispensé, dans certaines discussions numériques, de faire le calcul du polynôme D.

I.es quantités p, t/, r étant essentiellement (inies, la fonction entière s qui en dépend le sera elle-même; donc elle aura au moins deux valeurs limites. Ces deux limites, que je désigne paç s' et s", seront de même signe si s > o quels que soient p, </, r, et de sigues

contraires si s > ou < o. Ainsi en résumant toute cette discussion

de s, nous aurons, a étant supposé positif:

i°. s > o et deux limites s', s" positives, si b"* — aa' < o, D < o;

a", s ^ o et deux limites s', s“ positives, mais dont l une est nulle, si

b ’* — aa' < o, D = o ;

3°. s ^ o et deux limites s', s " de signes contraires, si

b"3 — aa' > o , D < o , ou

•, b "* — aa' >o, D = o, ou seulement D > o.

Maintenant constatons que les valeurs limites de s sont déterminées par l’équation (a), n" 7: pour y parvenir, multiplions par s la relation

/>*•+-...+ iqr cos {q, r) -t-... = i , retranchons le résultat de l'expression (i) de s, et posons a — s = K,..., b — icos(ç, r) = B,..., nous aurons ainsi l’équation

. Ap’-t- \'q* -t- A aBÿr-t- aB ' pr + a B " pq = o,

qui, étant ordonnée par rapport à />, devient A p* -t- a B, p -4- C = o.

Or, pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut que s satisfasse à la condition

B J — AC = ou > o;

donc, d’après le principe n° 3, les valeurs limites de s, devront vérifier l'équation BJ — AC = o, c’est-à-dire

(B"* - AA') q 3 -t- (B'* - AA") r* -4- a (B' B" - AB) qr = o.

Mais, pour que les valeurs tie ?» qui dépendent de cette équation, soient réelles, il faut aussi que s satisfasse à la condition

(B' B” — AB)* - (B'1 - AA') (B"’ - AA') = ou > o,

donc, d’après le principe invoque plus haut, les valeurs limites de s seront enfin déterminées par l’équation

AB1 -4- A' B” 4- A" B'5 - AA' A" - a BB'B' = o

ou bien

(5) L j* 4- Mf* 4- Nj 4- D = o ,

ce qu’il s’agissait de prouver. Les coefficients L, M, N , D sont d’ailleurs donnés par les relations suivantes :

L = i — cos’ (p, q) — cos’ (q, r) — cos’ (r, p)

-t- 2 cos (p, q) cos (q, r) cos (r, p) ,

M = — a sin’ (q, r) — a' sin’ (r, p) — a " sin’ (p, q)

-H a b sin (r, p) sin ( p, q) cos OX 4- a b' sin (p. q) sin (q, r) cos OY 4- a b" sin (q, r) sin (r, p) cos OZ ,

N = an' — b -+- n'a * — b* -t- an" — b'x — a (a b — b' b") cos ( q , r)

— a («'A' — bb") cos(r, p) — i(a"b" — bb')cos(p, q),

I) = ab* + a'b'x 4- n" b"x — a a' a" — a bb'b".

Nous avons désigné par OX, OY, OZ les angles dièdres des plans coordonnés.

B. Les trois racines de l’équation (5) sont réelles, puisque nous avons reconnu à priori la réalité de deux d’entre elles : en les désignant donc par s', s", sm, il viendra

s'.s’.sm= - D;

et , par conséquent :

Si D < o et s' > o, s’ > o, on aura s“"> oj

Si D < o et f ' > o, j" < o, on aura s'< oj

Si D > o et i'> o, j"< o, on aura s“> o.

En comparant ce tableau avec celui du n° 8 , on met en évidence les signes des racines de l’équation (5) ; elle a en effet : i“. Trois racines positives, lorsque

h — na' < o et f) < o ; a°. Une racine positive et deux négatives, quand h "* — an' > o et D < o ;

i°. Deux racines positives et une négative, quand seulement

Dans ie premier cas, l’une des racines positives est nulle, quand

dans le second cas, l’une est nulle et les deux autres sont de signes contraires, lorsque

Ainsi par la seule inspection de l’équation donnée

il est possible de connaître directement les signes des racines de l’équation

Lj*+ Mf’ 4- Ntf 4- D = o,

de laquelle dépendent les plans principaux et la nature de la surface.

Depuis M. Petit, les auteurs se servaient de la regie de Descartes, qui a l’inconvénient d’entraîner dans des calculs impraticables lorsque l’équation

est rapportée à îles axes quelconques.

I,a (onction s a une signification géométrique qu'il convient de remarquer. En désignant par p et p' les racines de l’équation

S o* 4- itp 4- «, — o ,

on trouve, en effet,

PURES ET APPLIQUEES. 119

mais nous venons de voir que s a trois valeurs limites réelles, et, de plus, que les rayons vecteurs corespondants à ces trois valeurs sont perpendiculaires entre eux; donc par tin pôle quelconque x,, y,, z, on peut mener trois sécantes perpendiculaires entre elles, telles que les rectangles p de leurs segments soient des maxima ou des minima. Déjà ce théorème avait été énoncé et démontré par M. Chasles pour les surfaces douées de centre.

Caractères analytiques des surfaces du second ordre. — Paramètres relatifs aux plans diamétraux conjugués.