Soit, comme nous l’avons déjà vu, s p* + U, = O

l’équation des surfaces douées de centre, en v substituant les valeurs de s tirées de l’équation

l,jJ-t- Nj + D = o,

on connaîtra les demi-axes de ces surfaces et, par suite, leur nature.

1" Cas. Lorsque les limites de s seront positives, les trois demiaxes seront réels pourvu que «, soit négatif; la surface est l’ellipsoïde réel qui a pour caractères analytiques

b”1 — an' <0, D < o, u, < o.

am' Cas. Deux des limites de s étant positives et l’autre négative, nous avons deux hypothèses à faire:

i°. Si u, est négatif, deux des demi-axes seront réels et le troisième imaginaire : la surface est l’hyperboloïde à une nappe qui a pour caractères

a°. Si u, est positif, nous trouverons deux demi-axes imaginaires et un seul réel; la surface est l’hyperboloïde à deux nappes correspondant aux caractères suivants

lao JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

I . es deux hypcrboloîdes se reconnaissent encore à d'autres signes analytiques.

En effet, nous avons vu que des trois limites de J, l’une était positive et les deux attires négatives, lorsque l'on avait

D < o, b ** — an' > o ;

donc, en raisonnant comme dans le cas précédent, on trouvera b"* — ad >o, D < o, «,< o

pour caractères de l’hyperboloïde à deux nappes; et b"* — aa' > o, D < o, u, > o

pour ceux de l’autre hyperboloîde.

Comme le polynôme u, entre dans les caractères analytiques de toutes les surfaces douées de centre, nous devons faire observer que les équations du centre permettent de le réduire à la forme

u, = ex, -+- c'y, -+- c'a, -t- d.

Remarquons encore que, dans le cas particulier où l’on a

l’équation

jrp* -t- u, — o

devient simplement

et si de cette dernière équation on élimine p, </, r à l’aide des équations du rayon p,

on obtiendra pour l’équation de la surface celle du cône

a(x — x,y a b {j — jr,)(z — s,) -t-... = o:

nous verrons plus loin que ce cône est asymptote de l’hyperboloïde correspondant.

I I . Désignons par R un demi*axe principal d’une surface douée

PU B ILS ET APPLIQUÉES, de centre, et <le l'éqnation

tirons

alors l’équation devenant

sp* =

lim s = —

Ls3 4- Ms3 4- Nr -4- D = o.

nous aurons entre ses racines R, K', R* les trois relations K*4-R',4-R',=î^-. R3. R'3. R"s= R3R'34-R'3R"34-R3R”3==^:.

enfin , si des équations relatives aux diamètres conjugués nous tirons les valeurs de u, , M, N, I), nous arriverons aux trois théorèmes de M. J. Binet, qui lient qntre eux les axes et les diamètres conjugués. En faisant le calcul pour l’ellipsoïde

il vient

R3 R'3 4- R'3 R"3 4- R3 R"3 = A3 A'3 sin3 (A, A')

4- A'3 A"3 sin3 (A*, A") 4- A'3 A3 sin3 (A", A) , R3. R'3. R"3 = A3. A'3. A'3. L.

Les deux hyperboloïdes donnent, aux signes près, les mêmes résultats.

12. Occupons-nous à présent de déterminer les caractères analytiques des surfaces dépourvues de centre. Comme les deux paraboloïdes admettent, l’un des sections elliptiques, et l’autre des sections hyperboliques, l’équation polaire de l’une quelconque de ces sections rapportée à son centre sera

.so3 4- «, — o,

or cette équation représentera une ellipse ou une hyperbole, selon que les valeurs limites de $ seront de mêmes signes ou de signes contraires; Toma XV. — Mam i85© . tfi

I Tl'Jl

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES donc, d’après ce que nous avons dit en discutant l'équation Ls* -+- Mi* -t- Ni + D = o,

les caractères du paraboloïde elliptique seront

D = o et b’2 — an’ < o; et ceux du paraboloïde hyperbolique,

D = o et b" 2 — an' > o :

cependant s’il arrivait que le binôme

b"2 — an'

Tôt nul, il faudrait recourir aux autres binômes b2 — a' a", h'2 — an".

Lorsque les équations du centre

seront incompatibles, comme il arrive dans les deux cas précédents, et que les trois binômes seront nuis à la fois, la surface sera un cylindre parabolique.

Si les équations du centre se réduisent à deux, et qu’au moins l’un des binômes b 2 — on!,... diffère de zéro, la surface sera un cylindre elliptique ou hyperbolique.

Enfui, si les équations du centre se réduisent à une seule et que les trois binômes soient nuis, l’équation

représentera deux plans parallèles. Il nous suffit de rappeler ces faits sans qu'il soit nécessaire de les démontrer.

15. La direction de l’axe principal d’un paraboloïde se déduit «les équations (a), n° 7, en faisant s’= o; on trouve ainsi

. (j ab — b' b* p a,kt— bb"

' ' r bN* — aar * r b”* — oa!

Mais il importe de plus de connaître le point où cet axe perce le pa-

PUBES ET APPLIQUÉES. lai

raboloïde afin de déterminer sa position absolue : or, l’équation d’une section principale rapportée à son centre étant

» sp* 4- u, = o,

il en résulte que la direction du rayon vecteur dont les équations sont

est assujettie, en outre, à la condition

et que, par suite, le plan de la section principale a pour équation

Maintenant, si nous exprimons que ce plan est perpendiculaire à Taxe principal p, q, r en posant

/' 4- </ cos/<y -f- rco»r/t t) 4- rem qr+pcoipq r -+• p cos r/i 4- y COS yr

et si nous concevons ensuite qu’il soit transporté parallèlement à luimême jusqu’au sommet principal; alors nous aurons, pour déterminer les coordonnées xu, j-0, »0 de ce sommet, les deux équations précédentes avec u, = o. Enfin, des équations (1) et (a), nous tirerons l’équation de l’axe

a' b' — bb" ah — b' b" b "* — aa'