L’équation (5), n° 8, devient (i) Ls* -+- Mj + N = o

dans le cas des paraboloïdes. Pour déduire de cette équation les paramétrés principaux de ces surfaces, désignons par R un demi-axe quelconque de la section principale faite à la distance i du sommet; ensuite de l’équation de cette section

s pi1 H- u, = o.

tirons

lim s = —

PURES ET APPLIQUÉES. u5

et substituons celte valeur clans l’équation (t), nous aurons ainsi la relation

(a) NR* — MR'tt, + LmJ = o,

pour calculer les demi-axes R , R' de la section définie ci-dessus.

Pour déterminer les paramétres P, Q relatifs à des plans diamétraux quelconques, tirons de l’équation (i), n" II, les valeurs de N, M, u,, et substituons-les dans les deux équations

Lu]

nous aurons ainsi les deux relations suivantes :

R* + R'1 = P1 sin* pr -+- Q5 sin’ qr, R* R" = P’Q’L,

qui renferment les théorèmes énoncés par M. Saint-Gnilhein, en 18/S6, dans le Journal deM. J. Liouville, comme on le voit en remarquant que les côtés des parallélogrammes et des parallélipipèdes dont les carrés forment les équations précédentes, sont

Ce que nous venons de dire du paraboloïde elliptique s'applique, à un signe prés , à l’autre paraboloïde.

$ VI

Contact des surfaces du second ordre avec un plan , un cylindre,... — Cône et plans asymptotes. — Sections rectilignes. — Plan polaire. /

IG. Les conditions de contact d’une surface du second ordre avecun plan, un cylindre, un cône, etc., ressortent facilement de l’équation

(1) sp 2 + itp + u, — o;

en effet, le plan, le cylindre,... ont une ligne droite pour génératrice, et, pour exprimer qu’une droite issue d’un pôle quelconque x, y , z, est tangente à une surface du second ordre, il suffît de rendre égales les

tafi JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

racines de l’équation (i) en faisant

(a) /* — su, —o-,

or cette relation très-simple conduit directement aux équations d’un plan, d’un cylindre, etc., tangents à une surlace du second ordte.

17. En plaçant d’abord le pôle x,y,z, sur la surface du second ordre, on a

l’équation (a) se réduit à celle-ci,

et si l'on élimine p, q, r à l’aide des relations

Cette équation représente un plan tangent; et, à cause dru, = o , elle devient

X, x -t- Y, y -h Z, z -t- ex, -t- c'y, -+■ c"z, -t- rf = o.

18. Lorsqu’en supposant p, q, r constants, on considère x, , y, . z, comme des coordonnées courantes; alors l’équation

t a — su, = o

représente un cylindre circonscrit : en effet, lorsque p, </, r sont invariables, il est évident que les coordonnées x,, y,, z, qui vérifient la condition de contact t1 — su, — o, conviennent à un point quelconque d’un ensemble de droites parallèles entre elles et tangentes à la surface u — o; elles sont donc tes coordonnées d’un cylindre circonscrit.

En désignant par x', y', z' les coordonnées courantes des points communs au cylindre et à la surface n, on aura d’abord

et , par suite ,

PURES ET APPLIQUÉES. tu;

ce sont les deux équations de la courbe de contact située à la fois sur la surface u = o et sur le cylindre <’ — su, = o; et l’équation t' — o montre, en outre, que cette courbe de contact est située dans le plan diamétral conjugué aux cordes p, q, r parallèles aux génératrices.

En supprimant les accents des coordonnées courantes et en remplaçant u et t par leurs valeurs, on ramène l’équation

t* — su, — o

à la forme

( [{ap+...)x + (a?<i-t-...)jr + (arr+...)t + cp+...]t

(= s(ax* -t- ... -t- ibyz -t- ... -t- d).

Lorsque l’on prend le centre x, y, z, de la surface u pour pôle et qu'on désigne par R le rayon parallèle aux génératrices, on peut , à l’aide de la relation

.fR* -t- u, = o,

éliminer s de l’équation (t) du cylindre. Si la surface était dénuée de centre, on parviendrait encore à éliminer s; car, en plaçant le pôle au centre d’une section quelconque parallèle aux génératrices du cylindre, on aurait

19. Supposons maintenant que le pôle x,y, z, est fixe, et que le rayon vecteur passant toujours par ce point, reste, tangent à la surface « = o; alors, en éliminant p, q, r de t* — su, = o, à l’aide, «les équations d’un rayon quelconque, nous trouverons

= u,[a (x' - x,)*-t- ... -t- sb{y' —y,)(z‘ - 2.) h-...],

et cette équation sera nécessairement celle du cône circonscrit.

Les coordonnées x, y, z d’un point quelconque de la courbe de contact devant vérifier l’équation

de la surface donnée et celle de l’un quelconque des plans tangents

qui passent par le sommet du cône, cette courbe sera nécessairement

représentée par les deux relations

ax2 -t- ... -t- a byz + ... + d = o ,

or en les ajoutant et en onlonnant leur somme par rapport à x, y, r . on a

X, x + Y, y + Z, 2 -+- ex, -+- c'y, + c”z, + rf=o;

ce qui prouve que la courbe de contact est plane. Nous verrons plus loin que son plan divise harmoniquement tous les rayons vecteurs compris dans l’intérieur du cône et issus de son sommet.

'20. Lorsque dans l’équation polaire

sa 2 -+- a tp -t- «, = o

on fait simultanément i = oel(=o, le rayon p devient infini et la condition de contact

t 2 — su, = o

se trouve en même temps vérifiée; donc alors les rayons vecteurs sont des asymptotes dont les directions seront données par les deux équations

et maintenant si de ces équations on élimine les directions variables p , q , /’, on trouvera les équations

qui représentent, l'une un cône, l’autre un plan. Ces deux équations, combinées avec u = o, déterminent une courbe du second ordre avec ses asymptotes, pourvu toutefois que le pôle x,y,z, ne coïncide pas avec le centre , car si le pile coïncidait avec le centre même de la surface u, on aurait

et alors, l’équation du plan (2) devenant identique , le cône (1) deviendrait un cône asymptotique.

PURES ET APPLIQUÉES. - iju)

Celle théorie ties asymptotes ne s'applique tout entière qu’aux deux hyperboloïdes : en effet, l’ellipsoïde n’admettant pas l’hypothèse j = o, il s’ensuit qu’il n’a jamais d’asymptotes. Le paraboloïde elliptique admet bien l’équation

mais, comme cette équation se ramène à la forme ap 4- b" q -h b' r = o,

elle ne conduirait qu’à un plan diamétral parallèle à l'axe principal.

Lorsque le paraboloïde est hyperbolique, le cône (t) se transforme en deux plans asymptotes qui se coupent suivant un diamètre: en effet, les caractères analytiques de ce paraboloïde permettent de décomposer la fonction j = o en deux autres,

np -t- (b” -t- y b’1 — aa') q 4- (b' -t- — aa") r = o ,

ap -t- {b" — \b'"‘ — aa') q + (b' — \ib" — aa") r = o;

de sorte qu’en éliminant les variables p, q, r, on obtient les équations des deux plans suivants :

a {x — x,) -h (b" 4- \Jb"* — aa') (y —J,) 4- (bf 4- yjb'* -t- aa") (a — a, ) = o,

fl('r — X|) + — v*" — an‘) (y - r. )