b ’ — — aa" ) (a — a, ) = o
Ces plans se coupent suivant un diamètre, ou suivant une ligne parallèle à l’axe principal : en effet, retranchons l’une de l’autre les équations (3), en tenant compte de la condition
D = (6”* — aa!) [ b " — an”) — a [b1 b” — ab)1 = o
relative au paraboloïde, nous retrouverons ainsi un des coefficients angulaires de l’axe
7 ab — b'b" r b"' — aa'
Si nous ajoutons ensuite les mêmes équations (3), nous aurons ap 4- b“q 4- b' r = o,
Tom© XV. — Avril i85o.
i3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
et en substituant dans ce résultat h valeur de -, nous retomberons sur
le secoud coefficient angulaire tie l’axe
l> a' b' — bb"
r b"1 — aa' ’
donc les plans (4) se coupent réellement suivant un diamètre.
Si le pôle jc,y, z, est placé en un point quelconque de ce diamètre , le plan (a) coupera le paraboloïdc suivant une hyperbole qui aura son centre en ce point; et il coupera en même temps les deux plans (4) suivant les asymptotes de celte courbe. Il suit de là que les plans (4) sont le lieu géométrique fies asymptotes de toutes les sections conjuguées au diamètre qui résulte de leur intersection.
*21. Si l’on vérifie la condition tie contact t 1 — su, = o,
en posant
J = o, < = o, i/, — o, on rendra identique l’équation
sp* + 2 tp -h u, — o-,
et dans ce cas le rayon p devenant indéterminé se confondra tout entier avec la surface « a= o: donc les surfaces pour lesquelles les équations
serout compatibles, admettront en chaque point des sections rectilignes. Les directions p, q, r de ces sections rectilignes seront données par les équations précédentes, et comme l’une d’elles est du second degré, il s’ensuit que par chaque pôle pris sur la surface u, = o, on pourra tracer deux droites indéfinies qui coïncideront avec elle.
En éliminant />, q, r de t = o, à l’aide des équations connues du rayon vecteur p , on reconnaît que ces deux droites sont situées dans le plan tangent au point (.r, f,z,), et, par suite, que ce plan coupe la surface suivant des sections rectilignes.
En faisant la même élimination pour r = o, on obtient une surface parallèle au cône ou aux plans asymptotes dont nous avons parlé;
ce qui démontre que les sections rectilignes faites sur la surface tt — o par le plan tangent, sont parallèles à deux génératrices du cône ou des plans asymptotes.
Pour reconnaître d’une manière générale dans quel cas les équations
sont compatibles, il faudra éliminer de l’une d’elles, et dans le résultat poser les conditions propres à rendre réelles les valeurs de par ce
moyen, on reconnaîtra que l'hyperholoïde à une nappe et le paraboloide hyperbolique admettent seuls des sections rectilignes réelles : tuais il conviendra d’employer dans le calcul les équations simplifiées des surfaces du second ordre.
J.’ équation
S P* -h a tp -t- M| = o
conduit immédiatement au théorème du plan polaire. En effet, soient p et p' les deux racines de cette équation; leur produit sera égal à ~ ,
leur somme à — j— ’ et le rapport du produit à la somme sera enfin
— > d’où
Maintenant sur la sécante indéfinie issue du pôle P, qui nous donne p' et p" par ses rencontres en M et N avec la surface « = o, prenons une longueur PK = p„ telle, que nous ayons la relation
2 pa' 2 11
— p—, OU - = - -+• -,t
ou enfin la proportion harmonique
mp : mk :: np : nk;
substituons ensuite p0 dans la seconde équation (i) au lieu de son
1 3a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
expression; nous aurons ainsi
it,
po-~y
Cette équation représente un plan lieu géométrique des points K qui divisent harmoniquement toutes les sécantes issues du même pôle P. Elle peut s’écrire sous la forme
laquelle, à cause de x — x, = pp,..., devient
X,(.r - jc,) + Y ,{y — y,) + Z, (s —z,) + u, = o, ou , enfin ,
X,.r -+- Y, j -t- Z,2-t- ex, -+- d y, -t- c"z, -4- d = o,
x, y, z étant les coordonnées courantes et o:,, y,, z , les coordonnées du pôle. Si ce pôle est convenablement placé pour mener des tangentes, il sera possible de former un cône circonscrit à la surfare 1 /; et alors le plan polaire
X,z + Y, y -t- Y,z -t- ex, -t- dy, 4- c’z, -t- d — o,
sera le plan de la courbe de contact.
