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Sections circulaires. — Surfaces de révolution.
25. Recherchons s’il est possible qu’un plan coupe les surfaces du second ordre suivant un cercle. Désignons par x,y, z, les coordonnées du centre de la section, et prenons ce point pour pôle, alors la section devra avoir pour équation
Sp2 -t- u, — o,
et son plan sera représenté par la relation
qu’on obtient en éliminant de t = o les variables p, q, r, relatives a la direction d’un rayon p quelconque. Maintenant il reste à déter-
miner la position de ce plan de manière que s soit constant , afin que l’équation
sp* -t- U, = O
représente un cercle.
Pour parvenir à ce but, multiplions par s la relation (a), n" 1. et retranchons le résultat de l’expression de s ; en posant ensuite
a — s = A,..., b — s cos [q, r) = B,...,
comme nous l'avons fait ailleurs, nous aurons
A p* ■+■ A 'q* ■+■ AV* -t- 2 B qr + a B ' rp -+■ a B “ pq = o ;
et cette équation devra exister en même temps que la suivante
En éliminant le rapport -■> nous aurons un résultat de la forme Mq* 2Îiqr -h hr* = o,
et afin que le rayon p puisse tourner en tous sens dans le plan de la section , nous poserons
Ces conditions, qui vont nous servir à déterminer r, deviennent,
lorsqu’elles sont développées,
M = AYJ-t- A' XJ — aB"X,Y, = o,
L = AZJ A"XJ — nB'X.Z, = o,
N = AY,Z, - B'X, Y, — B"X,Z,-t- BXJ = o;
et puisque l’on peut les vérifier en posant X, = Y, = Z, = o,
il s’ensuit évidemment que le lieu géométrique des centres des sections circulaires passe par le centre même de la surface n = o.
Tirons de M = o, L = o les valeurs des rapports et lor-
tnoiis leur somme; de |>lus, tirons cette même somme de l’équation M +L + aN = o
et comparons les deux résultats : nous retrouverons ainsi la fonction de .« relative aux axes principaux sous la forme connue
AB1 -+- A' B'* -+- A" B’’ - AA' A” - aBB’B* = o.
Celte équation, combinée avec M = o, L = o, donne la solution du problème des sections circulaires. Ou en déduit trois valeurs de s, à
cliacuue desquelles répondent deux valeurs de ^ ■ tirées de M =o,
L = o; mais comme il faut, pour que ces racines soient réelles, vérifier les deux conditions v
B"* — AA' > o, B'1 — AA' > o,
le nombre des solutions réelles sera ainsi réduit à deux. Pour rendre la discussion plus facile, rapportons la surface «=o à deux plans diamétraux principaux et à un troisième parallèle à leurs cordes conjuguées; nous aurons alors à opérer sur l’équation
tir1 -t- a! y' -t- a" s’ -t- a cz ■+■ d = u =: o.
En substituant pour A, A',... leurs valeurs dans les équations précédentes, nous les réduirons à
(a) (n — s)YJ -t- (o' — x)X;=o,
(3) (a — r) ZJ -t- (a“ — s)XJ = o.
«■t nous aurons enfin
\,=ax„ Y ,=a'y„ Z,= a"z, + c.
D'après l’équation (i), il faut que s soit égal à l’une des quantités a , il', a"-, et, d’après les équations (a) et (3), il doit être compris entre a et a' ou a"; donc , en supposant a > a' > a ", nous aurons s = o', et , par suite, en consultant l’équation (a), nous trouverons Y,, et, par
PURES ET APPLIQUÉES. i35
suite , y,= o. Ce résultat nous apprend que le lieu des centres .r, y, z, «les sections circulaires est situé sur le plan coordonné s. r.
Il nous reste à tenir compte de l’équation (3): or, en y substituant jiour X,, Z, et s leurs valeurs, nous en tirons
?!£+£. = ±i/'ÙzZ,
et combinant ensuite cette double équation avec y, — o, «tous aurons, pour lieu des centres , deux droites situées sur le plan zx et passant, de plus , par le centre de la surface, comme nous l’avons déjà dit.
A cause de Y, = o, l'équation générale du plan des sections circulaires se réduit à la suivante
X, (x — ar,) + Z, (î - z,) = o,
et, l'élimination de X,, Z, étant faite, elle devient
I-es deux plans représentés par cette équation sont parallèles à t axe oyet forment avec l'axe oz des angles supplémentaires, qui «leviendront égaux, et, par suite, droits, lorsque les deux sections se réduiront à une seule. Dans le cas du paraboloïde hyperbolique, on a
a" = o, n'<Co;
et le radical précé«lent devenant Si est alors imaginaire. Ce
genre de surface «lu second ordre est le seul qui n’admette pas de sections circulaires.
24. La surface du second ordre sera de révolution, si les deux systèmes des sections circulaires se réduisent à un seul; cherchons donc, d’après cela, les caractères de ce. genre de surface. Les «quations
donnent, comme nous l'avons vu , les coefficients X„ Y,, Z, du plan d’une section circulaire quelconque; or il suffit que leurs racines
soient égales, pour qu’il n’y ait qu’une série de sections circulaires;
donc les conditions des surfaces de révolution seront
B"’ — AA' = o, B'a — AA' = o.
Si nous tirons alors de M = o, L= o, les relations
nous aurons pour plan d’une section circulaire quelconque
et le lieu des centres ou l’axe de révolution sera enfin donné par les deux équations (i). •
25. Examinons maintenant ce que devient l’équation AB’-f-...= o.
Si ou la met sous la forme
(B'a - AA') (B'a - AA') - (B' B" - AB)» = o ,
il est évident que les conditions
B”a - AA' — o, B'a — AA' — o,
posées plus haut, la réduiront à
B' B" - AB = o,
d’ou il résulte
Ba-A'A' = o;
et puisque ces binômes ne sont que du second degré en s , il s’ensuit que les trois racines de l’équation primitive se réduisent a deux, et que la troisième est égale à l’une d’elles. Remarquons, de plus, que ces mêmes équations binômes rendeut indéterminés les coefficients angulaires des cordes conjuguées (a), n° 7.
!.es valeurs de t, déduites de chacune des trois équations
Ba-AA’=o, B,a — AA" = o, Ba-A'A'=o,
doivent être égales entre elles Pour, déterminer les conditions de celte égalité, substituons à A, A',... leurs valeurs a — s, etc., dans les
PUKES ET APPLIQUÉES. ii;
«■quations précédentes, nous aurons ainsi
(a - s) ( a “ — s) = [A'— J cos (/j, r) J*,.. ,
ou bien
sJ sin t(p, r ) — [(a 4- a" — a A'cos(p, r)J j 4- aa" — b'1 = o,...,
et éliminant ensuite sr entre ces équations prises deux à deux , nous obtiendrons enfin les conditions suivantes
(no' — b"’) sin’i'y, r ) — (n'a" — b-) sin’j/i, g)
[a +a' — ib" cos [p, 7)] sin’ (7, r) — [a' -t-n" — ai 004(7, r)j»in’(/>, 7)
(a' a" — i1) sin*(/>, r) — (aa" — b’’) sin1 (7, r)
[a'-t- o" — a b cos(7, r)] sin’ (71, r) — (a 4- a" — ai' cos( /), H] sin’(7, r)
(aa" — i'1. sin’i'/j, 7} — (aa' — fc" •) sin '(/>, r)
I a 4- a" — ai' coslj/, r) ] sin’(/j, 7} — [a 4- a' — ai" c<» (p, 7)]*in’{y>, r)
que devront vérifier les surfaces de révolution.
Terminons l’article des sections circulaires, en faisant observer qu’il n’y a que les surfaces de révolution qui puissent être touchées suivant une courbe plane par une sphère.
