Tome XV. — Aveu i85o. I
JOURNAL DK MATHÉMATIQUES
ce qui donne
(XJ — au,)p 5 -t- (YJ — a‘u,)q* 4- . . . 4- a(Y,Z, — bu,) qr 4- a (Z, X , — If u, ) rp — k1.
En multipliant l’équation de condition />’ 4- ... = t par k J, et iden tifiant le produit avec, la relation précédente, afin que la direction de e, reste arbitraire, nous aurons, en posant k* — — pu,,
XJ = K,(rt-fi), YJ = u, [a' — p), ZJ = u, (a" — p),
X,Y, = u,\h" — p cos{/», ç)], Y.Z, = «, [b — p cos (7, r)],
Z.X, = «,[/»'- p cos(r, p)].
Eliminant ensuite X,, Y,, Z,, on déduit de ces équations
l (" ~ F) («' ~ F) = \h‘ - F l'os(F- 9)1**
(t) - p) {a" — p) =[b — p cos [tf, r)]*,
! a — p) (a — p) = f// — p cos (r, />)]*.
D’autres combinaisons, faciles à apercevoir, conduisent encore aux relations
fai f Y* ^ ~ F COS^r’ /*)] = X,[A - p cos (7, /•)],
! Z, p cos f p, 7)] = X , [/> — p cos (7, r)];
(3) XJ -au, = Y J -a’
Ces six nouvelles équations tenant lien des premières dont elles ont été déduites, c’est elles qu’il convient d’interpréter. Or on reconnaît dans le système (t), en remplaçant p par s , les conditions des surfaces de révolution que nous avons étudiées: de plus, les deux valeurs de p. ou de s, tirées de l’une de ces équations, devant vérifier les deux autres, vérifieront aussi, comme nous l’avons déjà vu, l’équation
Es* 4- ... -t- D = o relative aux plans principaux.
Ee système des équations (a) représentera l’axe de révolution ou une droite quelconque perpendiculaire à cet axe , selon la valeur de p que Ton aura substituée dans (a). Enfin, les intersections de Taxe avec la
surlace du second ordre (3) achèveront de déterminer les foyers. S’il arrivait que ces foyers vinssent à coïncider avec le centre de la surface, il en résulterait
X,=o, Y, = o, Z, = (i, par suite, nous durions
p = rrj,
eest-a-dire, I équation de la sphère; les caractères de cette surface, déduits des équations (i) et (a), seront donc
a = a'=:a", ù =rtcos(7, r), h' — a cos(r, p), b" = a cos(p, y).
27. Dans le cas des courbes du second ordre , représentées par ax1 -t- u'j2 ■+■ nbxj -+- a ex A- ne' j + d = u — o, les conditions relatives aux foyers se réduisent à X, a, (a n), YJ — u,(a‘ — p), X,Y, = u,\b — p cos (p, y)]; d’où l’on tire
(,) j (a - p) («’ — p) = [A — pi cos(/>, y)]a, Y, = X, y/^.
XJ — au, — YJ — a'u,.
l-a première de ces équations donne deux valeurs dept; la deuxième, les deux axes correspondants; la troisième représente une hyperbole dont l’équation développée a la forme
, ( (b2 - au') (xf - jJ) + a (bc ' - ca' | x, + i{ac' - cb', y,
K 1 ( +C'1- c* •+- ad - a’d = o.
• Si celle courbe pouvait couper les deux axes en quatre points, il v aurait autant de foyers; mais, à l’aide des équations aux axes, on démontre sans peine qu’il y a deux foyers au plus et un au moins.
L’équation (a) se réduit au premier degré dans le cas de b*—aa' = o, c’est-à-dire quand la courbe est une parabole. On retrouve l’équation (a) en résolvant successivement u = o par rapport à x et à y, et en égalant entre eux les polynômes entiers qui se trouvent sous les radicaux.
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L’équation focale
se ramène, quand on la développe, à la forme
kp = \,pp- 1- \,qp + U, = X,(x — x.) + Y,( j -y,) 4- «,.
En plaçant l’origine des coordonnées au foyer, et en désignant par ni, ii, d les constantes X,, etc., on trouve p = mx -+- ny -+- d ,
équation connue, qui sert de vérification à la première.
28. Par un point F, (.r,, y„z,), mener un plan (i) w(x — x,) + n(jr— y,) -h s — s, = o,
qui coupe la surface u — o, de manière que F soit le foyer de la section; et, réciproquement , chercher le foyer d’une section donnée.
I^epôlex,^, z, étant placé en F, il suffira de rendre \ ta — su, constant , pour que ce |>ùle soit un foyer; posons donc
( XJ — au,) p* -+- ... -t- 2 (Y, Z, — bu,)qr -+- a(X, Z, — b'ti, ipr -t- a(X, Y, — b" ii,) pq = A3 constant ,
ou , pour abréger,
Kp2 -t- A' <7* -t- A V1 -t- aB qr + iB'pr-h aB ”/*/ = A’.
Maintenant, multiplions l’équation (a), n° I, par A3, retranchons le résultat de l’équation précédente , et posons ensuite
A — k2 = A,, ... , B — A cos (q, r) = B„ . . . ,
nous obtiendrons ainsi
(a) A,/i3 -I- A', q1 + A* r3 -+- a B, qr -+- aB’, pr + a B", pq = o.
Or si on élimine p, q, r, cette équation représentera une surface conique dont le pôle F sera le sommet , qui coupera la surface n = «> suivant les courbes cherchées , et qui prendra, du reste, autant de formes que A3 aura de valeurs différentes.
PURES ET APPLIQUÉES. i4r
Le rayon iip devant tourner sur son pôle que dans le plan (i), il faudra que la relation
mp 4- nq 4- /' = o,
qui exprime le parallélisme d’une droite avec ce plan, soit vérifiée en même temps que l’équation (a). Éliminons donc r entre ces deux équations, nous aurons alors un résultat de la l'orme
M p2 4- N r/’ 4- aL p<i = o ;
cette équation devra être identique, afin que le rayon p tourne en tous sens dans le plan (t): nous aurons donc enfin , pour déterminer m, ;i et A, les équations
ou bien
(3) M = A — a lï,m 4- A, = o, N = A', n* — 2 B, n 4- A', = o,
L = A' m/i — 11, mi — B’,// 4- B" =o.
Des equations M = N = o, lirons les valeurs de ni et de n , et faisons la nomme m 4- //; formons de plus l’équation
M 4- N 4- aL = o,
pour en tirer aussi la valeur de m 4- n, et égalons ces deux expressions de la même somme: nous trouverons ainsi une fonction de AJ du troisième degré semblable à la fonction de s, relative aux plans principaux , savoir :
(4) A , B; 4- A’, B', * 4- A't B", 5 - A , A , A", - a B, If, B", = o.
ür nous avons vu, en recherchant les plans principaux, que les racines d’une équation de cette forme sont toujours réelles, et que Finie d’elles au moins est positive; il existe donc pour A’ au moins une valeur convenable à laquelle correspondront deux systèmes de valeurs pour m et //. Ces valeurs de met de // se déduiront des équations (3), mais elles ne seront réelles qu’aux conditions
(5) B', 2 —A, A" > o, HJ — A', A", > o, que A* devra remplir.
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D'après les conditions (5) et (4), on peut décomposer l’équation {a'; en facteurs, et la ramener ainsi au système des deux relations
A", r + (B, + y B? -Â7Â7) <i -+- (IV, + v B", ’ — A, A' ) p = o,
A',r+ (B, - y BPÂVÂV) q H- (R, - y B.’-A'A ) r =.o ;
-d'où , en éliminant p, //, i\ on tire les équations des plans des sections cherchées. Les équations (3) et (i) produiraient les mêmes résultats.
(.'analogie de forme entre les équations (3), (4) et celles relatives aux sections circulaires, nous permet d'affirmer que par le foyer F on ne fêta au plus que deux sections réelles avant ce point pour loyer.
'•Ut. Les constantes k, ni, n étant déterminées, comme nous venons de le voir, les équations d’une section ayant son foyer en F, seront
1 1 ' p — ~y— . in/> -+- nq •+■ r = o.
Jl nous reste à déterminer la grandeur et la position de l'axe local: oi nous y parviendrons en recherchant les valeurs limites du rayon p , ou, ce qui revient au même, celles de la fonction t. Élevons au earn l’expression de t et formons ainsi l’équation
X;p,+ ..,-nYlül(/r+...3l,i
multiplions la condition (a), n" I , par pour la soustraire de l’équation précédente ; et posons , pour abréger,
XJ — t* = A,..., Y, Z, — t1 cos ((/, »•) = R,...,
nous obtiendrons ainsi
(a > A/J3 -4- A 'q* -t- AV3 -+- a B qr -+- a BV/J -I- a B" pq = o.
En éliminant ensuite r de cette équation , à l’aide de mp -t- nq -+- r = o, nous aurons un résultat de la forme ;3' M/>* -t- tiq* -t- iLpq = r>;
or, pour que les valeurs du rapport^ tirées de cette équation soient
PURES ET APPLIQUÉES. i43
réelles, il faut que k* satisfasse à la condition LJ — MN = ou > o,
donc, d'après le principe n° 5, les limites de seront données par l’équation
(4) L1 - MN = o,
c’est-à-dire par
(A "mn- B )1 = (A"/nJ - aB'/n -t- A) (A'«* - aB« -t- A')
Enfin désignant par u le maximum de t, et par 9 l’angle que iàit un rayon vecteur quelconque p, q, r avec Taxe focal , nous aurons
t = ix cos t? ,
et, par suite, l’équation (1) deviendra
' zp k — p cos»
c’est l’équation d’une section rapportée à son foyer dans son plan. Cette section sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que l’on aura
La relation (3) et celle que Ton formerait par analogie en éliminant de l’équation (a) q au lieu de r, donnent les coefficients angulaires de l’axe focal sous la forme très-simple
à cause de la condition (4) et de son homologue. Mais, au lieu de la relation
M'p* -+- NV’ -H a V pr — o,
analogue à l’équation (3), on peut encore se servir des équations X,p -+- Y,ÿ 4- Z,r = p. et p1 ■+■ ... + iqrcos(q, r) -+- ... = 1.
La question de trouver le foyer d’une section donnée peut se résoudre à l’aide des formules n° ‘2»>. En effet, si le plan 1) de la
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s.-ction était connu d’avance, les trois équations (3) combinées avec celle de ce plan donneraient la constante k et les trois coordonnées x„ y, , s, du foyer de la section.
50 Appliquons maintenant le problème du n° 28 au cône elliptique : ce cône étant rapporté à des coordonnées rectangulaires, ayant leur origine O au sommet, aura pour équation
nx7 4- a'y* 4- a"z2 4- a byz 4- a b'xz 4- a b“ xy = o.
Kn supposant que l’axe Os passe par le foyer F, les plans ax et zy couperont ce cône suivant deux droites, et il en résultera les conditions suivantes :
h 3 — a' a" > o et b'2 — an" > o;
de plus, comme les sections parallèles au plan des xy seront alors des ellipses, nous aurons encore
b”* — an' < o.
Cela posé, les éléments du problème nu ‘28 seront pour le cas du cône, en désignant par à la distance OF, x, — o, y, = o, a, = <?, u, = «"<?, A = (Z/1 — aa")&‘ > o,
B" = (hb' - a" b") o'3. B' = B = o.
Or, d’après ces relations, l’équation (4), n° 28, devient (A - k2) (A' - À3) - B*1 = o,
et donne
a.*3 = A 4- A' - \ ( A 4- A')* 4- 4 (R - - AA').
Comme les équations (3), n° 28, se réduisent dans les mêmes circonstances à
(t) m* = ~~P~~ ’ n* = —jt—’ k2mn= B";
d en résulte que k2 est plus petit que A et A', et, par suite, plus petit que * — : c’est pour cela que nous avons omis le signe 4-
devant le radical précédent.
PURES ET APPLIQUÉES. i/J5
Puisque les signes de m et « dépendent de celui de B" dans la troisième équation (i), il n’y aura que deux solutions, et, d’après ce qui a été dit n° 29, on pourra déterminer la grandeur de l’axe focal de chacune des sections, la direction de ce même axe, l’excentricité, et, par suite, la nature de la courbe.
