Tome XV. — Avril i85o
(æs équations devront être vérifiées, quels que soient p, ij, r, ou quelle que soit la direction commune des rayons p des deux surfaces semblables. Nous tirons de la seconde
s = SA
les rapports égaux
et de la troisième
t=p.kT
les trois relations
(4) X, = fiAX‘lf Y, = p.k Y',, Z.^fUZT,,
dans lesquelles X,,..., X',,..., représentent les valeurs des dérivées de u — o, U = o, pour x,, y, , z,, x\ , y, , z, coordonnées de deux points homologues. A l’inspection des équations (4), on reconnaît que ces dérivées sont proportionnelles, et, par suite, que les plans tangents aux points homologues sont parallèles entre eux.
Si l’on donne d’avance le pôle x,,y„ z,, les équations (4) feront connaître son homologue x\ , y, , z\ .
Les équations des centres des deux surfaces u , U, c’est-à-dire
vérifient les relations (4); les centres sont donc des points homologues.
Il est facile de déterminer un point homologue commun aux deux surfaces u, U; il suffit, pour cela, de fairte jjans les équations (4)
et de les résoudre.
Los coordonnées x„y„ z, du centre commun de similitude étant ainsi déterminées, la première équation
u, = p’AU,
fera enfin connaître le rapport de similitude p..
Les surfaces semblables u = o, U = o seront concentriques, lorsque l’on aura
PURES ET APPLIQUÉES. i$7
puisque, dans cette hypothèse, les deux systèmes d’équations (S), qui déterminent respectivement les centres «les surfaces , deviennent identiques entre eux , quand on multiplie le sewnd par k.
Surfaces d'un degré quelconque. — Plon tangent. — Courbe intiieutrive. Surface, osculatrice. — Rayon et lignes de courbure.
32. Disons maintenant quelques mots des surfaces en général. En posant
x = x, + pp, y—yx-\ -qp, z=*. + rp,
l’équation
d’une surface quelconque , prendra la forme polaire
dut
iü.p
d1 u, ~dx\
dU\
\ dx * P
da, \
dxxdyx
dz, tir,
d' ux
IrT
ou
i «, + (5 + j- he -£-= -h... -h Npm'' -h Mp" = o.
Si l’on place le pôle sur la surface, on a
et, par suite, l’équation (i) devient
(a) 1 + s il + " 711 +"'+ N^""l+ Mf*"' = ° :
or, lorsque l’on fait p = o, la sécante indéfinie sur laquelle nous prenons p devient tangente, et la relation précédente se réduit à t = o; donc, en éliminant p, q, r de l = o, au moyen des équations
d’une tangente quelconque, on obtiendra l’équation
dUf t t ilu^ f % . (ittf m v
du lieu géométrique de toutes les tangentes ou du plan tangent. Le plan tangent iu = o conduirait facilement à la tangente à une courbe considérée comme l’intersection de deux surfaces.
33. Pour étudier particuliérement un point m(x, y, z) de la sur face « — o, plaçons le pôle x,, y,, z, très-près de ce point; nous pourrons, en conséquence, négliger les puissances de p supérieures à la seconde, et réduire ainsi l’équation (i), n° 32, à celle-ci
qui ne représente plus qu’une surface de second ordre. On distinguera la nature de cette surface à l’aide des dérivées secondes de n qui entrent dans s; puisque ces dérivées remplacent ici les quantités a, a', a", b, b', b" qui nous ont conduit précédemment à la distinction des surfaces du second ordre.
L’équation (i) représentera une section parallèle au plan tangent en in(x, y, z), ou la courbe indicatrice, si l’on assujettit p à demeurer parallèle à ce plan , en posant la condition
du du du
De cette même équation (i) on déduit facilement l’équation de la surface osculatrice au point m. En effet , le pôle étant placé en ce point sur la surface u = o, l’équation (i) devient
ou bien
zip + s p* = o,
du du dy’i^Ti
'dïdiV
en remplaçant t et s par leurs valeurs.
Désignons maintenant par x , y, z les coordonnées du point m pris pour pôle, et par x', y', z' les coordonnées courantes de la surface (a) ; nous aurons alors
x' — X = pp, y'-y = qp , z’~z = rp,
PUBES ET APPLIQUÉES. 149
•*t, par suite , en éliminant pp,..., nous ramènerons l’équation (a) à la suivante
- *>+ J Cr'-jr) + *)]
qui représentera la surface osculatrice dont il est question. Il est évident qu’autour et très-près du point m, le rayon vecteur p de la surface (a) ne différé de celui de la surface (a), n° 32. que d’un infiniment ]>etit du second ordre.
L’équation (i), n" 32, servirait encore à prouver que les surfaces de degré impair sont toutes infinies.
3i. Il existe un moyen très-élémentaire pour déterminer l’expression du rayon de courbure p relatif à une section plane quelconque d’une surface; nous croyons devoir le faire connaître.
Soient
rf’j r tt'r d'i
