V FF' FF’ P FF

les cosinus connus du rayon de courbure dont il s'agit ; soient , en second lieu,

^ + f' + I ’ VV>’ -+-<?’ -t- I v’/J' — R‘ H- I

les cosinus relatifs à la normale menée au point de rencontre du rayon avec la courbe; et soit enfin 0 l'angle que fait la normale avec ce rayon.

En multipliant les cosinus correspondants aux mêmes axes et eu ajoutant les produits, nous aurons

cos 5 = — . J. - ■ id*z — — <jd*Y)\

**vW?*+' ‘

mais l'équation de la surface z = y), étant différentiée deux fois,

donne

fl*i — pd'x + ijd'y -t- rdx‘ -t- a sdxdy +■ tdy' ; donc , en éliminant

d'z — pd*. x — ijd’jr, -

et en posant

dx dy a

— = COS a, -y- — COS5, ds ds

on trouvera enfin

. , ro*9 v'/>’ 4- 9*4- i

' ^ r cos’ a -+- a s cos * cos 6 -4- 1 cos' 5

formule importante qu’il s'agissait d’établir.

La normale à la surface et la tangente à la section au point que nous considérons sont perpendiculaires entre elles, donc on aura, entre leurs cosinus, la relation

— p cos a 1] cos 5 4- cosy = o,

ou bien , à cause de cos’ a -f- cos’ê -t- cos1 y = t,

(a) (t 4- p') cos 1 a -+■ iqp cosa cosë 4- (l 4- q3) cos’ê = t.

Sans nous arrêter à déduire de l’équation (i) les théorèmes de Meusnier et d’Euler, et les conditions des ombilics,..., cherchons le maximum R du rayon p en supposant cos 6 — i . Comme les valeurs limites de p ne dépendent que du dénominateur de son expression, égalons

donc ce dénominateur à j> en posant

(3) rcosJa -+- aîcosacosê 4- tcos'ë = j>

multiplions ensuite cette équation par k et retranchons le résultat de l'équation (a), en faisant

nous aurons ainsi

cos 6 dy

ou -r = IB.

cos s dx

(l ■+■ q* — kt ) m3 + -1 „ pi I — ks m 4- i+p’-frro;

d’où il résulte, n° 3, que les valeurs limites de k seront données par la relation

(4) (■*'’ — /r)ÀJ — [np'/s — t (t +p* } — r(t ■+- 9*)]A — [p1 -t- q* 4- t) = o.

En éliminant k. à l’aide de R = k y p* •+■ t/1 4- t , on aura enfin, pour

PURES ET APPLIQUÉES. i5i

déterminer les courbures maximum et minimum , l’équation connue de Monge

(j1 — tr) R 2 — [ipqs — p*) — r(i + ga)] \p* ■+■ q* ■+• i.R

Si l'on divise entre elles les équations (a) et (3) et qu’on remplace par m, on aura

r -f- 7 sm -4- tm1

et, par suite, l’équation (4) deviendra

[i(i -t- p *) — p(ft\m3 -h [r(i t/1) — t (i -+- p1)) m -+- ptf! — ,t(i -4- p*) = o.

Cette équation fera connaître les directions des sections principales; elle sera de plus l’équation différentielle des lignes de courbure de

Jy

Monge, si l’on remplace m par

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