UNE CLASSE D'ÉQUATIONS

Pin H J.-A. SEKItKT

i . Dans un Mémoire, publié au tome IX de ce Journal, M. I.obatto a fait connaître la forme générale des équations du troisième degré dépourvues du second terme qui possèdent une propriété remarquable observée depuis longtemps [*]. Cette propriété des équations dont je parle consiste en ce que. si l’on développe leurs trois racines en fraction continue, d’après la méthode de Lagrange, les trois fractions continues que l’on obtient sont terminées par les mêmes quotients.

J’ai reproduit l’analyse de .M, Lobatto dans inon Cours dAlgèhre supérieure, avec quelques modifications (pages ao8 et suivantes), et j’ai indiqué aussi comment on pourrait former les équations complètes du troisième degré qui ont cette même propriété.

Je me propose, dans cet article, de résoudre le problème plus général dont voici l’énoncé : *—

Quelles sont les équations irréductibles jouissant de la propriété que, si l'on développe leurs racines réelles en fraction continue par la. méthode de /.agi ange, deux ou plusieurs de ces fractions continues soient terminées par les mêmes quotients?

On verra que les équations irréductibles dont il s’agit ont un degré de la forme in ou de la forme 3 n. On peut partager leurs racines

U] M. Vincent, dans son remarquable* Mc moire Sur la résolution des équations numériques, l’a observée sur l’équation x * — ^x -f- 7 =r o (t«»me I*r de ce Journal , et il ajuiite î « Cette propriété mériterait peut-être un examen special. *

en n groupes composés chacun de deux ou trois racines, suivant que le degré est an ou 3 n; si les racines d’un même groupe sont réelles, les fractions continues qui les représentent sont terminées par les mêmes quotients.

Je donnerai, en même temps, la forme générale des équations qui possèdent cette singulière propriété.

Condition pour que. les fractions continues qui représentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients.

2. Si deux irrationnelles x et x' sont telles, que les fractions continues dans lesquelles elles se développent aient un même quotient complet jr, on aura, par les propriétés des fractions continues,

ir + p n'j-fp'

sr -t - r • 'y + r’’

p, q, p', etc., étant des entiers qui satisfont aux deux conditions

qP ~ Pq — — i' *r' — rs' = ±. i;

en outre, on peut supposer p', q', r', s' positifs, q et p seront de même signe que x, /• et s de même signe que r'. Des équations (i) on tire

. ax + b

en posant

a — rq' — sp\ h — sp — rq, a' — r' q' — s' p', b' = s' p — r' q.

équations dont on déduit

ab' — ba! — { qp' — pq') ( sr ' — rs') = ± i.

Donc, [tour que deux irrationnelles positives ou négatives x et x' puissent se développer en des fractions contimtes terminées par les mêmes quotients, il jaut quelles soient liées l’une à l'autre par une r quation de la Jorme

ax -f- h a’ x