Tome XV . — Avril i85o

où a, b, d , b' désignent des entiers positifs ou négatifs satisfaisant à

la condition

(4) ab' — bd = ± i .

5. Je dis maintenant que cette condition est suffisante. Pour le démontrer, remarquons d’abord qu’on peut supposer x et x‘ positives, car si l’une d’elles ou toutes deux sont négatives, on peut les remplacer par leurs valeurs absolues en cliangeant les signes de quelques-uns des coefficients a, A, a', b', changement qui n’altérera pas la condition (4),

Cela étant, on peut évidemment supposer a positif, car on ramènerait le cas contraire à celui-là en changeant les signes des quatre coefficients a, b , d, b'; quant à A, il peut être positif ou négatif. Si A est positif, d et A' sont de même signe à cause de l’équation (4), et ils sont tous deux positifs à cause de l’équation (3), parce qu’on suppose x et xé positives. Si A est négatif, d et A' sont de signes contraires à cause de l’équation (4) ; d’où il suit qu’en mettant en évidence les signes îles nombres a, A, a', A', l’équation (3) a l’une des trois formes suivantes :

ex + b

ax — b — a’ x b'

xé

ax • — b a’ x — b' ’

et, dans tous les cas, on a

ab' — bd — ± \ .

Dans le premier cas, on démontre aisément que x et x' se développent en des fractions continues terminées par les mêmes quotients (voyez mon Cours d' Algèbre supérieure, page ai a). Le second cas se ramène au premier, car, en exprimant x en fonction de xf , on trouve

l’our démontrer que la même chose a lieu dans le troisième cas,

f? fl ,

réduisons x en fraction continue. Soient et —, deux réduites conse-

ctitives aussi éloignées qu'on voudra, et z le quotient complet qm correspond à la réduite — • ou aura

hi ■+■ g

et, par conséquent,

r' = 'nh ~bh‘)l + (“S — *g‘)

on a d'ailleurs

c.d' — de? — ( ah' — ha!) (g h' — hg') = ±i;

le troisième cas se trouve donc ramené au premier si les entiers c , </. c', d' sont positifs, ou du moins sont tous quatre de même signe. Or c et d sont de même signe; en effet, ils ont respectivement le même signe que les différences

lesquelles différences sont de même signe, puisque les fractions

et ", différent l’une de l'autre d'aussi peu qu’on veut. Pour une raison

semblable, c' et d' sont de même signe, et parce que x' et z sont positives, on voit que les nombres c, d, c', d' sont de même signe; donc x' et z, par suite x' et x se développeront en des fractions continues terminées par les mêmes quotients.

(JX+ 6

Sur les Jonctions linéaires de la Jonne + )t.

i. Soit posé

a, h , a’, h' étant des quantités quelconques données; posons aussi 0*x = OOx. 0tx—00*x,.. , 0mx = 95” '. r.