JO
il est très-aisé d’avoir l’expression générale de 0" x. Posons, en effet ,
on pourra écrire, d'après la formation des fonctions 9*x. 6‘x, etc., fl», = fl a,„, + b «'„ = a'am, + b’à^,, bm = a -H b
b'm=a‘bm,+ brh'm„.
Pour tirer de ces équations les valeurs de a„, am, b„, b'm en fonction des quantités connues a, a', b, b', désignons par t une quantité telle, que l’on ait
on déduira des équations (3) ,
a„ -+- n'„ z = (a 4- a’z) 4- z) , bm -h b‘mz=(a + a'z) z);
d’où l’on tire aisément
am + d‘.! = ^ + «'z)™,
En outre, comme l’équation (4) est du second degré, en appelant ; et z' ses deux racines, on aura encore
(6, / am 4- «,*' = (« 4- a'z'f,
( bm -t- b'm z' — z'(a -t- a’z'y".
Des équations (5) et (6) on peut maintenant tirer les valeurs de am, a .
En faisant, pour abréger,
(7) t = v(n + b' y - 4 (fl// - ba‘),
et
on trouve aisément
Pm — {a -h b' + t)m+ (a + b‘ - /)",
P.4-(a — b')Qm
bm=b%
,, P.- (a -AM Q.
equations dont ou déduit
(to)
en sorte que, si
on aura aussi
am — b m a — b' am a’
I ai a '
am b'„ — b„ am = ( ab ' — ba')m\
al/ — ba' = ±. i , am b„— b„dm— ±. i .
On connaît donc les coefficients de la fonction en fonction des quantités connues a, b, a', b'. A la vérité, notre analyse semble en défaut si t est nulle, car alors, z et z' étant égales, les équations (6. ne diffèrent pas des équations (9); mais, comme les équations(8) et (9) ont lieu quelque petite que soit t, elles seront vraies encore pour t — o : on a , dans ce cas ,
par suite,
ym
ma* (a -f* b'Y*""
2*~' ’ mb [a -f- b’ )"“ a*-'
Dans ce cas, les quantités <!, b, a', b' doivent vérifier l’équation (la) (<i -t- b'f = 4 [ab' — b(t),
et l’on peut écrire la valeur de 5™ x comme il suit :
(fl b’+a+b'^
, / Il
Ou voit que. pour m = » , 6'” oc converge vers la quantité
qui n’est autre chose que l’une des constantes " ~ t ^ lesquelles sont égales à cause de la relation (ta).
iï. Pro|H)sons-nous maintenant de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que l’on ait identiquement
c’est-a dire
il 4ï fl* z= bp, a* = o, bp = o.
On voit tout de suite qu’on doit exclure le cas particulier où l’on aurait (a -t- b' Y = 4 ( ab ' — ba'),
car les équations i 1 1) indiquent que, pour satisfaire aux équations [u J),
PÜBES ET APPLIQUÉES. .5g
il faudrait que l’on eut
par suite ,
ab' — ba! — o,
et alors la fonction Ox ne dépendrait pas de x. Cela étant, les équations 9) montrent que, pour satisfaire aux équations (14), il est nécessaire et suffisant que l’on ait
Qe = o,
{a -h b' -t- tY= [a + b' — ty.
On tire île là
, , , , , / 1 ).* a Vn \
a -t- b -t- t = a b — 1) ( cos 1- y — 1 sin —
(t5) / = («-H è'itang— V— 1,
en désignant par X un nombre entier qu’on doit supposer premier avec fi pour qu’il faille effectivement exécuter n fois sur x l’opération désignée par 6 avant de reproduire x.
En comparant cette valeur de t avec celle qu’on tire de l’équation (7), on a
(16) la + b1 )' — 4 (ab' — ba') cos’ — = o.
Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que l’on ait identiquement
Si l’on suppose que o, b, a ', h' soient réelles, l’équation (16) montre que la quantité ab' — ha' est positive. Et comme on peut, sans changer la fonction Sx, multiplier les constantes a, b\ a', b' par un facteur quelconque, on voit que, sans faire aucune particularisation, on peut supposer
(17) ab' — ha’ — 1,
I Ho JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
ft alors lequation (i6) donne
(rrt) a + a cos— •
Nous ne mettons pas le signe ±. devant le second membre, parce qu’on pent, si on le juge à propos, changer les signes des quatre quantités a, b, b/ . Des équations(i7) et (t8) on tire
b' — — (fl — acos^i
la fonction 5.v a pour valeur
à1 — la cos — -+- !
a: — a « co* h l
1 iO
o r — — 2 cl» — j
les quantités a et a' demeurent indéterminées; quant à X, c’est un nombre entier quelconque premier avec p.. Si l’on continue de poser
amx+ bm
5mZ =
on trouvera aisément
{m — i ) Xr
m A it
a sin sin
. Xtr
sin -
am = a
. Alt
sm — P
ai: m Ar
■ 2 a cos — i sin
m Ait
sin : a sm
bm =
