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et de même
P>-« (Pi)‘-i
r-Pim
P- i lM-i = (-*) 2 *■ 8
* Kzl F,-t = *(- O a ^ *
£(— 0 a 8 ^cos^Xm -h sin^X/zi y — i ^ | ^sin m -J -+- sin 3m ^ y i
. JT 1t )
sin m - cos m 7 y — i ;
mais
if t » — . ir V2 • w , x— H— «— L2
sm /«-=(— i ;■ 2 , sin 7 = — * sm //i7 = (— i j 2 8 — »
sr yâ it ,
c0!i 4 = T ’ cosm4 = (-i)
D’ailleurs le produit des autres facteurs donne, à cause de 8 = a. 4
el ft) =<-'fT
p-, ze—
(-,)• (ï)rTVt
de là, pour produit» définitifs,
(0 2(-o~ft)^"=(-*)~(Ç)iw vW,
Ht — I Ht1-! m— » m» — I /P-f-i\*
(rf) 2(“*) ' " # (?) *•“ = (-•) 2 + 8 ft)*A * ’ V8P.
Si l’on convient «le représenter par p les nombres P, 4 P, 8 P, 8 P, selon les cas et de remplacer les symboles
par le
symbole unique
— • suivant les
i cas, on aura plus simplement
premier et troisième cas ,
deuxième et quatrième cas.
Ces sommes sont nulles pour m non premier à P
Dans ces formules on peut distinguer deux cas , selon que i — y — i reste ou disparaît :
i*. P = 4Q + ï, 4Q — i, 4Q -+-* • 4Q — 1 dijptraîr ;
2*. P = 4Q — I, 4Q-+-I, 4Q— ■> 4Q + <> I reste i U première puissance.
Or, si l’on appelle A les nombres qui donnent = i et B ceux qui donnent = — i, le premier membre des équations (a') étant
2)cos Am — ~2cosBmy-+-(2«l» Amy — 2sinBmy)V~^» on aura, pour les cas où i disparaît,
(2cosA«^-2~9B'«7=[?1^
1 2 *m Am ~ 9*n Bm = 0 •
et , pour les cas où » reste à la première puissance ,
i 2 cos A m ~ — 2 cos Bm y
2sinAm^-2«nD"»y
Rien ne serait plus facile que d’obtenir les sommes
2 co* Am— * 2cosB'ny’ 2sinAmy' 2sin 8,11 y*
car 1 equation connue aux racines primitives a pour coefficient du second terme , pris en signe contraire ,
£ cos A m ^ £ c°s B m ^ ^ £ sin A m - j + 2>in B m y ) '^
on a donc toujours
2sinAm^+2*»'B"‘ÿ = °-
aaa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Pour les trois derniers cas (4P, 8 P)» le coefficient du second terme est nul, car, comme on l'a vu, les racines se détruisent deux à deux; on a donc
5! cos \m — + 'SÂ cos Bm — = o.
Mais, pour le premier cas, ce coefficient, pris en signe contraire, est ± i, selon que les facteurs a, b, c,... sont en nombre pair ou impair 'voyez le tome IV des Anciens Exercices de M. Cauchy); ainsi
2 cos A wi — ■+■ Y cos B m — = ± i .
On a donc tout ce qu’il faut pour obtenir les quatre sommes.
[.es formules précédentes se trouvent dans la seconde partie du Mémoire de M. Diriclilet sur les applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres (Journal de M. Crelle, tome XXI). On peut aussi consulter les notes du grand Mémoire de M. Cauchy sur la théorie des nombres, i83o ( Mémoires de l’Académie).
Seconde application. — Des diviseurs de z' — D.
Problème. Trouver les diviseurs de z’ — D?
I«a solution est donnée dans les n°* 147- i5o des Disq. arith. En voici le résumé nécessaire pour l’objet principal de cet article. Le
symbole ( facilite beaucoup l’exposition.
11 sera seulement question des diviseurs impairs premiers a D dans le cas de D nombre positif ou négatif sans facteur carré. Tous les autres cas s’en déduisent facilement. On supposera
D = ( — i)**iép, P -abc.-.v,
a sera o ou 1 selon que 1) sera positif ou négatif; jS sera o ou 1 selon que I) sera pair ou impair. Quant à P, c’est le produit de nombres
PURES ET APPLIQUÉES. m3
premiers différents a, b , c,..., r; il est de forme 4Q -+- » ou 4Q — 1 » selon que les nombres premiers a, b, c,..., r de forme 4 K — i sont en nombre pair ou en nombre impair.
1. Un nombre premier impair n est diviseur de z’ — D si l’on a (?) = + '’
et il ne l’est pas (il est non diviseur) quand on a
Ces conditions expriment, en effet, que D est résidu ou non-résidu quadratique de n.
