Si l’on
pose
on aura
En effet,
et comme
et
on en tirera
3. L’expression a quatre valeurs qui correspondent ainsi qu’il
aa4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
suit aux diverses formules de ï* — D :
D= iP= a(4Q-f-i),
D = — aP = — a(4Q — i)j
D = - aP = - a(4Q + 0,
(>la suit de la substitution des valeurs de a et j3.
■4. Les diviseurs premiers n et les non diviseurs se trouvent par les formules suivantes. Posez
i°. n = A - a 4-... + R - p (mod. P),
2°. w 4 ^ ^ a • - • "+ 4 R ~ S P c- (mod. 4 P) i
3°. « = 8A *- « -4-.. .4- 8R ? p -t- SP<7 (mod. 8 P),
4°. n== 8A^a+...-+- 8R -t-SPa- (mod. 8 P),
S [â)\ïrVr
sous les conditions suivantes :
A- si (mod. R-sm (mod. r), a = -I,.,., p — I, 2, 3,..., r— 1;
(mod. a),..., 4^~s> (mod. r), « = p = i,x, , r — i,
SP=?i (mod. 4), «ss 1,3; %
et 4". 8A-«si (mod. a),..., « =s i, a, 3,..., a — i,.„;
SP b i (mod. 8), » = i , 3, 5, 7 .
Il suit de ces formules que n divisé par a donne le reste a; que, divisé par b, il donne le reste |3, et ainsi de suite; que, divisé par 4 (deuxieme cas), il donne le reste a ; que, divisé par 8 (troisième et quatrième cas), il donne le reste a. De là la valeur de Si l'on veut
donner au symbole â a s 8 la valeur i, il faudra pour le premier cas que, parmi les facteurs (î) , »•••» il y ait un nombre
pair de facteurs — i ; or, pour avoir, par exemple,
il faut que a soit non-résidu quadratique. Il faudra donc que, parmi 7 > (->•••, p, les non- résidus quadratiques des modules correspondants a. / soient en nombre pair. Pour le deuxième cas et les suivants,
>*-*» ff — t ï'-l
la règle sera la même si les (acteurs (— i) 1 ", (— 1)”8 f (—l) 1 "* ~ sont égaux à +- 1 . Mais si ces facteurs étaient égaux à — i , il faudrait, au contraire , prendre les non-résidus en nombre impair.
Ces formules conduisent à la proposition suivante.
I-es diviseurs premiers n de z1— U sont renfermés dans des formules linéaires qui sont, suivant les cas:
t». Px + A, a°. 4 Px -+- A , 3". 8 Px A , 4“. 8 Px ■+. A ,
le». nombres
Fomc XV. — Je;» i85o.
aa6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
étant ait nombre de
De même, les nombres premiers n non diviseurs sont contenus dans des formules linéaires :
i“. Px + B, a°. 4P* -4- B, 3°. 8Px-4-B, 4°. 8Px+B,
en nombre
Il faut bien remarquer que A est premier à P, ou 4P> ou 8P, selon les cas, et de meme pour B; que les nombres A et B forment entre eux tous les nombres premiers à P, 4 P, 8 P, selon les cas. Quant à f (P), f (4 P), f (8 P), ils indiquent respectivement combien il y a de nombres premiers à P, 4 P et 8 P. Comme il est très-facile de voir que les formules Par -+• A, Px + B, etc., sont en même nombre, on en conclut j y (P) pour le nombre îles formules Px -4- A aussi bien que pour le nombre des formules Px -4- B , et de même pour les autres ras.
I». Pour tout nombre composé impair N = nn\ (^ = ( ~ j ( -^ )
ainsi tous les diviseurs composés impairs sont nécessairement contenus dans les formules
A) Px -4- A , 4 Px -4- A , 8 Px -4- A , 8 Px -|- A ,
qui contiennent aussi des nombres composés non diviseurs.
Au contraire, tous les nombres composés compris dans les formules
B) Px + B , 4 Px -4- B , 8 Px -H B , 8 Px -4- B . sont nécessairement non diviseurs.
7. Si les nombres des formules (A) sont dits de première classe et ceux des formules (B) de seconde classe, tout nombre, décomposé en facteurs, sera de première ou de seconde classe selon que le nombre des facteurs de seconde classe sera pair ou impair.
PURES ET APPLIQUÉES. ia?
H. Soient
a, a', lous les nombres de première classe ;
b , b, b",.,., tous ceux de seconde classe;
les produits
am, a'm, a'm,.,., bm, b'm, b“m,...,
contiendront aussi tous les nombres d'une meme classe, savoir, de première classe quand les deux facteurs a, m ou b, in sont de même classe; et de seconde classe quand les facteurs a, m ou b, m sont de classes différentes.
Cette remarque conduit à la formation des sommes alternées pour les racines primitives des équations binômes
XP=I, xi *’ = I , X8P=I,
dont il a été question dans le § V.
Ve la somme V J 8 8 ^ )
Cette somme renferme quatre cas. Dans le premier à = i, t = i, elle s’étend à tous les nombres n pairs ou impairs premiers à P. Dans le deuxième, elle s’étend à tous les nombres impairs premiers à 4P; dans les deux derniers, à tous les nombres impairs premiers à 8 P. Elle n’est autre que
eu représentant par A tous les nombres de première classe et par H tous les nombres de seconde classe, ces nombres étant calculés par les règles du § VI.
Cette même somme se présente dans la recherche du nombre des (ormes réduites (quadratiques binaires) avec cette seule différence
que, dans le premier cas, la somme ^ ( ” 'j ^ s’étend aux seules va-
aa8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
leurs impaires de n premières à P. Or, si l’on désigne cette somme ainsi limitée par V', en conservant V pour le cas où la série s’étend aux valeurs paires et impaires de n, comme l'on a
on reconnaît tout de suite que l’on a
et c'est, en effet, par cette dernière formule que M. Dirichlet calcule V' au moyen de V.
L’expression
est formée de parties telles que
2 px + a px b'
en mettant, suivant les cas, p pour P, 4P» RP- Les parties
px -+- a Xmd px 0
sont l’une et l’autre infinies et sensiblement égales à
pé*d X - 1- 1
(les sommes sont prises dea: =o à x = oo ) , mais la différence
px 4- a px 4- b
est finie et s’exprime par arcs de cercle et logarithmes., et il n’est pas nécessaire pour cela que a et b soient des nombres de classe différente. L’identité
— — - = x*~' I i -+- xp -+- xJp f h — K
i — xr | i — xf J
donne
r'x—dx
Jo I — x'~o
.Mais la somme
p + a 3p-ha
pz -f- a
est infinie , et l’on ne peut négliger le reste
Jr ' x*r+*-' tlx «-*' ■
Il n’en est plus de même quand on considère l’intégrale
Jr < (j—
Oh peut sans inconvénient négliger le reste
car on a , en supposant a < b ,
de sorte que l’intégrale précédente est toujours inférieure à
xkp+a- 1 (fx
kp-tra
que le nombre indéterminé k rend aussi petite qu’on voudra.
On voit donc qu’en représentant par J(x) la somme
en mettant pour A tous les nombres de première classe inférieurs à P, 4 P ou 8 P selon le cas, et de même pour B les nombres de seconde classe inférieurs à P, 4 Pt 8 P, on a
r’i/wdx
a3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
C'est la première ties méthodes dues à M. Dirichlet. Il est tout aussi simple de calculer la somme V par parties.
La décomposition en fractions rationnelles donne, comme l’on sait,
m — P co» am — x — cos a — 1 m —
=ly p P
I xt /> . 2 17
m , X* — 2 COS « X -f- I
do plus, la fonction sous le signe ^ est égale à
2ir / 2ir\
cos am — I x — cos m — |
