K . 2 TT
sin am - — sin m — P P
. 2 * x* — 2 cos m — x H- i
as
— a co» m — x -+• 1 P
de sorte que l’on a
JM Ht P
JC* s?~'dx ,V' awi/i \
= > cos am — log je2 — a cos m — x i
O I — rf 2 P ^ P & V /> /-*
-h - 2 S’D am ~~ arC | laDê =
ms i
2ff
i — x cos m —
et, par conséquent, pour x = I,
Jf* * x*" ' //x i 2 w . r
! = > cos am — log a sin m -
I V' • 2 ît / x /wr\
-f — > sin am — I 1 •
Si, dans la formule identique, par le développement,
Mai
(A) cos (a p -h i) k = cos k — a sin A ^ sin a mX ,
on pose il en résulte
V'' • Iff
> sin am — = o ;
PURES ET APPLIQUÉES. a3i
et de même, la formule
(B) sin (ap -I- i) k = sin k -+- a sin k ^ cos 2 mA
donne pour A =
2 1. cos a/n — = o,
ce qui réduit l’intégrale précédente à
C' dx I v1 a* , n * v"
(C' / — > cos am — log sin in
2 JT
//I SU) tf/7I
On pourrait encore simplifier cette formule, la différentiation de la
formule (b) donnerait
v lit p ir
> m sin am — = — - cot a — +* pip
Avant d’appliquer ces formules au calcul de la somme V , il est bon de donner deux formules qui serviront dans la paragraphe suivant. Si, dans la formule (C), on change p en p — a, on aura
. . 2tr
cos am — = cos i n — a , m — * P w ' P
et la soustraction donnera, au moyen de 1 equation (D),
fs» *7= *5
mr» I * ït 7t
> — ; > — ■ = - cot a —
pi 4- a +* pz p — n p p
Si, dans cette formule, on change p en ip et que l’on double les deux membres, puisque de cette équation on retranche la précédente membre à membre, on aura
pz -h n ** p% -4- p — a
it I
sm a - P
Os deux formules sont d'Euler (Intr. in Anal., n° 178).
alia JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Voici maintenant le calcul de la fonction V.
Prvrnier cas. D > o.
Pour ce cas, a et p — a appartiennent à la meme classe,
sin ( u — a) m — = — sin am — ; r P P
donc, dans la réunion des intégrales (C), les secondes parties se détruisent, et si, dans la sommation des premieres parties, on réunit les multiplicateurs relatifs à une même valeur de m, il suffira de remarquer que le cas I> > o dépend des formules («M du $ V pour avoir
» — àSlî.N*?-
(jette formule renferme les quatre de M. Dirichlet, mais il faut mettre pour p, suivant les cas,
et pour [£].
Second cas. D < o.
Pour ce cas, « et p — a appartiennent à des classes différentes. Vinsi , dans la réunion des parties qui forment la somme V, les premieres parties des intégrales (C) disparaissent; de plus, c'est ici le cas des formules fa") du § V, de sorte que l’on trouve
qui contient les quatre formules de M. Dirichlet, en remplaçant p et j par leurs valeurs correspondantes aux différents cas.
L’emploi de la formule (D) donnerait
V = * V cot A -■
l.e nombre A est de premiere classe et moindre que P, 4P. 8 P, selon les cas.
La comparaison de cette formule, qui peut être nouvelle, avec celle de M. Dirichlct, donne
Un cas tres-particulier a été exposé dans le tome VII de ce Journal, page i43, équation (14).
La sommation de la série V peut se faire encore par une autre méthode fondée sur la sommation de certaines séries.
Ainsi, pour le cas de D < o, la sommation repose sur une propriété remarquable de la série
sin (•> n -t- 1) j:
Elle est nulle pour x — o; puis entre oetu, elle prend la valeur *• Elle est nulle de nouveau pour x — n, puis de n à an, elle prend la valeur — et ainsi de suite périodiquement.
De cette série on en déduit une autre.
eus (an -4- i)-r lu -4- *
De x = o à x = - la valeur est pour x = - la valeur est nulle.
Entre ar = -etx=3-la valeur est — 7 , pour x — 3 - la valeur a 1 4 r 1
et nulle.
Entre a: = 3^etjc = a7rla valeur est et ainsi de suite périodiquement.
! omn XV. — Jem i6w.
a34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
On en déduit encore les deux formules
cos [7.n-+- i)x an -4- i
les valeurs suivantes :
De x = o
ir
Dex = J
kx=Vr
ir
WT
De x = 3 ^
JT
De x = 5 j
j , ir
a \[Îl
De x=7J
ir
On pourrait croire, d’après ces énoncés, que les séries précédentes sont des fonctions discontinues, et c’est, ce me semble, l’opinion reçue le plus généralement. La discussion de cette question sera l’objet d’un Mémoire particulier.
Ces propriétés de la fonction
fX
sont tres-faciles à établir.
Comme
+ * n) — yx et y(x+(r) = -yï,
il suffît d’examiner les valeurs de x = o à,x = »r. Or, si l'on pose
m étant un entier impair moindre que 4?, la substitution donnera, eu
réunissant les termes où les mêmes sinus reparaissent ,
? (*} = sin 77 [2 ïirÿî +2 77+47-.] sin 3 77 [2 4^77 ^2 4 77^773 3 1
-t- sin (ao — i) I V r— — - — — -t-V* j—r I-
Or, d'apres la formule d’Euler donnée plus haut, on aura
rm n . mtr . , m * ~1
: r + “7^ +- +t~ rv '
,,n ' 47 *,n377 «Dfay-O^-J
Pour m — 1, on a tout de suite
?far) = îi x?== i'
Pour les autres valeurs de m9 on trouvera encore* en raison des
deux formules
sin [ik ■ 4- 1)<7 / . , . s
— — s — = i -4- a 1 cos 2 a -h cos à a -f- ... -4- cos a Arm ,
sin 2 f o /1 \ 1
— : = 2 cos a 4- cos 6 a -f- . . . 4- cos {a k — 1 \ a\.
sin a 1 \ / 1
Par la premiere, on développera les termes , et par la seconde,
on simplifiera le résultat. On pourrait aussi supposer m pair.
La valeur de f (x) ainsi obtenue, le changement de x en x -+- * donnera
. . Il— I
/ w\ , / \ v* / v “r — co s 1 a « 4- 1 ; x
a 36 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
De même, si l’on pose
f(*) («impair),
on trouvera
f (x + \) =^[®(jf) + ?(*)].
?(x + 3l)=5r[9(jr) + Ç(jr)1’
d’où l'on déduira
9(x) =£[* (x + ï)~ ? (a"h3i)1’ ?(x,=^Kx+5) + ?(x + 35)]!
et, par suite, les valeurs précédentes.
Cela posé, les'formules du § V, relatives au cas de D <o, donnent pour valeur de ( j| ) (premier cas),
i im \ 2 mit
-r= > [ « ) sin n— — s v'P^W p
on aura pour la série V,
Or la valeur de^ P°l,r n impair est ^ ou — selon tpie l’on a
m < - ou > -■ a < a
Soient m' et m" ces valeurs, on aura donc
v=îî?[2(r)-2(f)]‘
et comme, pour ce cas, P = 4Q — 1, m“= P — m', f ÿ ) = — »
On trouverait généralement
V=-^V| - I, h<Ip**Vp I
en ayant égard aux valeurs de p et j
Le cas de U > o ne serait pas plus difficile à traiter; il suffirait de partir de la formule
V ^îilüülî - 1 Jog ( cot - ' -*— » m + 1 3 e \ a ;
Voyez pour plus de détails les ^ IX et X du Mémoire déjà cité de M. Dirichlet, sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres, deuxième partie, Journal de M. Crelle, tome XXI.
\NW\»\S >W<V» N
