SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DOUBLE

log (fi* — v*) (i p d-j

Pa» M. William ROBERTS

('.plie intégrale mérite d’être remarquée à cause de l’analogie quelle ottre , en quelque sorte, avec une intégrale bien connue qui a été évaluée par M. Lamé (tome II de ce Journal, page 167)- Elle peut s'exprimer assez simplement par des fonctions elliptiques completes île première espèce, à modules complémentaires, comme je vais le montrer dans ce qui suit.

Pour le faire voir, il suffira de nous rappeler une formule que j'ai déjà donnée, et qui se trouve à la fin d’une Note insérée au tome XII de ce Journal , page .'449- La voici :

foc

. /-t» ri* Inyji ;i — jt'ism’O'sin’y

I Jo Jo V I — t’’ *i(i’ 6 v 1 — /‘sin’ï

| = 3 l«e (^r ) KK' - i "(K1 s"),

ou K. K' désignent respectivement les fonctions completes

V* — X* sin’çi

ÿ 1 — sin* »

dans lesquelles les modules k, k’ sont complémentaires. Maintenant, posons

et faisons

f*’ = . -» v^Asiny,

l : — sur

ce qui nous donnera

v/i — <t'‘sin! 8 v {<•’ — p’) ( f*’ — A’ frf»

A* sin* ? A** — v") (^* — »*)

en sorte que l’intégrale, premier membre de l’équation (a), se trouvera transformée dans cette autre

ou bien encore

rf iogij.--.vurf,

A rfo Vl*’ — p’}(p’ — — >’)(*’ — »')

t.» /** logfi- rfu r* rf.

w/t ^(c- — p-) (p* — 5*j ./ o yV’ — »*) (6- — ,*)

Mais il est évident que

/’c logp’rfp 3 log 6 „ , 1 r i * log (i — A''sin’8

A y/ (f’ — p’) (p* — b') C c Jü ^ i — V' Hit- 8

et l’on sait (tome XI de ce Journal, page 197) que

ce qui donne

rfo V 1 — tP’sin’#

f V T!* t , = 1 K< log (Ac).

J» vv-p- (u>i- «

en sorte que l’intégrale qui figure dans la formule (aj pourra s’écrire

2/fO

de la maniéré suivante

.» r r1, iog (p>— *•)</,.</, ,,

A Jo ~ 1os "c

d'où, en ayant égard à la formule (a), et en se rappelant que

on déduira finalement

n* loglfi1— »') dfttl*

= a KK' log [4 ft* c* (c* - i*)] - £ (K’ + K'1).

Dublin, le il février i85o

IWHW»