PROPOSITION IV

LEMME

Si une fonction non symétrique de n lettres , n étant > 4 , est symétrique par rapport à n — a de ces lettres, le nombre des valeurs distinctes de la fonction est n , - ou n(n — ■)■

Soit

V = 9 (fl, b, c, d,...,k, l )

une fonction de n lettres, symétrique par rapport aux n — a lettres

i°. Si cette fonction ne change pas de valeur par la transposition de Tune des lettres <t et b, b par exemple, avec l’une des n — a

autres, elle sera symétrique par rapport aux ri — i lettres l> y C , (i y t • • , A, l y

et comme, par hypothèse, elle n’est pas symétrique par rapport aux n lettres, elle aura précisément n valeurs.

a". Supposons que la (onction V change par la transposition île l’une quelconque des deux lettres a et b avec l’une des n — a autres, et qu’elle ne soit pas symétrique par rapport aux deux lettres a et b.

On formera évidemment toutes les valeurs dont la (onction V est susceptible, en faisant les n n — t) arrangements deux à deux îles « lettres

fl y by C y fi y ...y À', /,

et permutant dans la valeur de V les deux lettres a et b successivement avec les deux lettres de chacun de ces arrangements. Or je dis que toutes les valeurs de V formées ainsi sont différentes.

En effet, les deux valeurs de V qui correspondent à deux arrangements formés des mêmes lettres, a, b et b, n par exemple, ne peuvent être égales, puisque l égalité

<p(a, b, c, </,..., k,l)=iff{by(i,c,d A, /)

exige que la fonction V soit symétrique par rapport à a et b, ce qui est contre l’hypothèse.

Pareillement, les deux valeurs de V qui correspondent à deux arrangements ayant une lettre commune, tels que <ï, b et a, c, ou a, b et c, a, sont différentes. En d’autres termes, ou ne peut avoir

f (n, b, c, (i,..., A, l)= tp(a, c, b, d,..., k, l), ni

tjt (il ^ b y C y d y...ÿ k y l) — O (C , rt , i) , tl y .. - , A , /).

L’impossibilité de ces égalités résulte de ce que le premier membre de chacune d’elles est symétrique par rapport aux deux lettres c et d, tandis que le second ne l’est pas par hypothèse.

Enfin les deux valeurs de V qui correspondent a deux arrange-

i» JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

tnents a, b et r, d qui ii’ont aucune lettre commune, sont aussi differentes; on ne peut avoir

fin, b, c, d,..., k, l)— f{c, d , a , b k , /),

parce que le premier membre est symétrique par rapport à r et d, tandis que le second ne l’est pas.

Ou voit donc que le nombre des valeurs distinctes de V est n (n — i

3®. Supposons, enfin, que la fonction V change par la transposition de l’une quelconque des lettres « et A avec l’une des n — a autres, mais qu’elle soit symétrique par rapport aux deux lettres a pt b.

Dans ce cas, on formera toutes les valeurs de V en faisant les — — — combinaisons deux à deux des n lettres

et permutant dans la valeur de V les deux lettres a et b successivement avec les deux lettres de chacune de ces combinaisons. Or je dis que toutes les valeurs de V ainsi formées seront différentes si n est supérieur à

En effet, deux valeurs de V qui correspondent à deux combinaisons a, b et n, c, qui ont une lettre commune, sont différentes; on ne peut avoir

parce que le premier membre est symétrique par rapport à a et b, et que le second ne l’est pas par hypothèse.

Pareillement, deux valeurs de V qui correspondent à deux combinaisons n, h et c, d, qui n’ont aucune lettre commune, sont aussi différentes; en d’autres termes, on ne peut avoir

f [a, h, c , d,..., k,l) — ? (f ,rf, «, b,..., k, l).

parce que le premier membre est symétrique par rapport aux n — a lettres c, d,..., k, /, et que le second ne l’est pas par hypothèse si n est > 4-

On voit donc que le nombre des valeurs distinctes de V est ' "

PURES ET APPLIQUÉES. i3

Remarque. I.i démonstration de ce dernier cas suppose essentiellement n > 4; car si l’on a m=4, on. ne peut plus dire que l’égalité

soit impossible. Cette égalité peut, au contraire, avoir lieu; cela arrive en particulier pour la fonction

ab -+• cd,

et pour une infinité d’autres. .

Corollaire. Si une Jonction de n lettres symétrique ptir rapport à n — a lettres n n valeurs, elle doit être symétrique par rapport à n — t lettres.