PROPOSITION V

• LFKMK.

Si une Jonction de n lettres n'a que deux valeurs par les permutations de n — t lettres, elle a a ou a n valeurs par les permutations tie toutes les lettres, n étant > 3.

une fonction de n lettres, n étant > 3, qui n’a que deux valeurs par les permutations des n — i lettres

en désignant par t> le produit des différences de ces n — i lettres deux à deux , en sorte qu'on ait

V aura la forme

V = A -+■ Be,

\ et R étant des fonctions des n lettres a, /;, <■ , etc., symétriques pat rapport aux n — i dernières.

Cela posé, je distinguerai deux cas suivant que la fonction A est symétrique ou non symétrique par rapport aux n lettres.

i“. Si A est symétrique par rapport aux n lettres, V a précisément autant de valeurs que Be; mais le carré de Be est symétrique par rapport aux n — i lettres b, c. d k , /, donc il a n valeurs, ou une seulement s'il est symétrique par rapport à toutes les lettres. Par conséquent, Be ou V a a ou an valeurs.

a". Si A n’est symétrique que par rapport aux n — t lettres b, c, d A, /, faisons les n transpositions

et désignons par

les valeurs qui en résultent pour A; par

les valeurs correspondantes de B qui peuvent être égales entre elles, et par

*’l ) *’«»•••» va

celles de e. (>n aura ces 111 valeurs de V, les seules que cette fonction puisse avoir,

et je dis que ces an valeurs de V sont différentes si n est > i En effet, si l’on avait, par exemple,

il en résulterait

or le premier membre n’est pas nul, et il est symétrique par rapport aux n — a lettres r, il...., A, l; B, et B, sont également symétriques par

PURES ET APPLIQUÉES. i5

rapport à ces lettres, tandis que t>, et e, changent de signe par la transposition de deux quelconques de ces « — a lettres; l’égalité précédente est donc impossible si h — a est au moins égal à a , c’està-dire si « est > 3.

La fonction V a donc a n valeurs.

Corollaire. Si une Jonction de n lettres , n étant >4, n deux valeurs seulement par les permutations de n — a lettres , le nombre des valeurs que celte jonction peut prendre par les permutation > de toutes les lettres est égal à a, ou supérieur à n.

Soit

une fonction de n lettres, n étant > 4 , qui n’a que deux valeurs par les permutations des n — a lettres

D’après la proposition qui précède, comme on suppose n — t > 3, la fonction V aura a ou a (n — t) valeurs par les permutations des n — i lettres

Dans le dernier cas , le nombre total des valeurs de V est supérieur à n. Si, au contraire, la fonction V n’a que deux valeurs par les permutations des n — i lettres

elle en aura a ou an par les permutations de toutes les lettres.

Ije corollaire est donc démontré.