Tome XV.— Jullet i85o
montre qu'il suffit de disposer d'une certaine manière l'orifice d'un jet d'eau, au moyen d'obturateurs partiels fixes, pour faire, dans certains cas, cesser et renaître indéfiniment rejet comme par un mouvement régulier de respiration. J'appelle sur ce genre nouveau de phénomènes l'attention des fontainiers qui , avec le temps , y trouveront sans doute un moyen d'inspecter l'état intérieur de leurs tuyaux de conduite, au moyen des vibrations des jets d*eau.
J'examine ensuite, par expérience , les idées de divers auteurs sur la manière d'estimer la perte de force vive occasionnée par les rétrécissements à l’intérieur des conduites , ainsi que mes propres idées sur cette matière , et je montre dans quelles limites relies que j’ai èinises sont applicables.
On admettait généralement que les ajutages dirergents débitaient autant d’eau en débouchant dans l’air que lorsqu'ils étaient plongés. Je montre dans quelles circonstances cela n’est pas exact, et, en étudiant les détails du phénomène, je fais voir comment les nappes liquides se comportent dans diverses circonstances. Je remarque la difference qui existe entre l'effet des ajutages divergents dans le mouvement permanent et dans le mouvement oscillatoire, par suite de la manière dont se forment les tourbillons latéraux.
En définitive, cette Note, qui ne peut être appréciée que par ses détails, modifie d'une manière essentielle les idées reçues depuis longtemps sur des phénomènes usuels, qu’il était intéressant de mieux connaître pour leurs applications à l’industrie, à l’explication des fontaines naturelles et à l'étude des lois de l’exhaussement des rivières.
mw»w<w«ww
1 MEMOIRE
Sur la géométrie de courbes tracées sur la surface d’un
ellipsoide ;
Par IVI. Michael ROBERTS.
1. Je me propose, dans ce Mémoire, de discuter avec quelques développements la théorie de lignes tracées sur la surface de l’ellipsoïde.
Je prendrai pour mon point de départ l’équation d’une ligne géodésique qui passe par un ombilic de la surface; mais, en premier lieu, il huit que j’aie soin d’avertir d’une erreur qui in’est échappée dans le Mémoire que j’ai inséré au cahier de janvier 1 84*1 de ce Journal. Cette erreur (qui m’a été indiquée par les recherches de M. Hart sur les lignes géodésiques, publiées dans le n° XIX du Cambridge and Dublin Mathematical Journal ) consiste à négliger une quantité constante qui entre dans l’équation d’une ligne géodésique qui passe par un ombilic, quand on cherche à exprimer (comme je l’ai fait) la constante arbitraire, entrant dans l’équation de M. Jacobi , en fonction de l’angle que la ligne géodésique forme avec la section principale de la surface qui contient les ombilics. En effet, par suite d’idées inexactes par rapport à la symétrie de la surface, j’avais pensé que, si deux lignes géodésiques forment entre elles à un ombilic un certain angle, elles se rencontreront encore sous le même angle à l’ombilic opposé; taudis qu’une analyse plus précise prouve que ces angles sont essentiellement inégaux [*].
[* j II faul observer que les résultats contenus dans ma Lettre adressée à M. Lionville et insérée à la page 4 y i du tome XII de ce Journal , sont tous inexacts. Nous verrons dans ce qui suit les vrais théorèmes qui doivent remplacer ceux qui se trouvent dans la Lettre à laquelle je fais allusion.
2. Je vais présenter maintenant l’équation corrigée de la ligne géodésique, et, pour cela, je nie servirai d'une méthode qui m’a été communiquée par M. Liouville.
En conservant les notations de mon Mémoire (tome XIII, page i), nous avons pour l’équalion de toutes les lignes géodésiqurs qui passent par un ombilic
d’une ligne à l’aulre il n’y a de différence que par la valeur qu’on assigne à la quantité constante a , et il s’agit de déterminer cette valeur en fonction de l’angle u qu’une ligne géodésique particulière quelconque forme avec la section ombilicale de la surface.
On doit faire ici une observation utile par rapport à l’emploi du double signe qui se trouve dans l’équation (i). Voici en quoi elle consiste. Si s désigne la longueur de l’arc géodésique compté de l’ombilic jusqu’au point (fi, v). on a
Le signe positif, dans cette équation, doit être employé avec le signe négatif dans l’équation (i), et vice versd [*].
Maintenant, pour fixer les idées, nous supposerons que les ombilics contigus O, O' sont les foyers intérieurs des lignes de courbure pour lesquelles on a
f* == constante.
L’angle ta est la limite vers laquelle tend l’angle 5 compris entre l’arc géodésique O'T et le prolongement de OT, lorsque le point T ou (fi, v) se rapproche indéfiniment du point O, c’est-à-dire lorsque fi — b et b — v convergent vers zéro. Or la tangente à la ligne de courbure (fi) partage l’angle 0 en deux parties égales; l’angle b est donc le double
[*] Il est bon d'observer que nous omis bornons à la c onsideration du demi-ellipsoïde terminé par le plan de t’axe le plus grand et de l'axe moyen.
de l’angle i contenu dans l’équation de M. Liouville,
(x* cos’ i -t- v 2 sin’ i = b2,
qui appartient à la ligne géodésique dont il s’agit. Ainsi tang’ - = tang* » - - C ,
et, par suite,
tang1 - =
Maintenant, pour la détermination de la quantité a, qui se trouve dans l’équation (i), en fonction de l’angle u, j'observe que le premier membre de cette équation est la somme des deux quantités suivantes :
V3trp \j£ jo b’-,* )
w r & ws - vs) ws- - vs) ■
et
dont la premiere ( p ), revient à
en adoptant le signe supérieur. En faisant converger p et v vers la valeur commune b quelles prennent au point O, nous trouverons à la limite cette valeur de la quantité (p),
ùs/hv (‘°g tan§* s - H hi ) ■
Quant k la quantité (ÿ), elle prendra alors une valeur Unie et déterminée, et il est facile de voir que l'équation de la ligne géodésique s’écrit finalement de la manière suivante :
Je I»’- V^’-f’-Jo *•- >’ V «■ - »'
v/ïi^,0«tan«^- B’
où B est une constante absolue, savoir,
» = -f pS* (v^=? - \/ê?)
i'b <ti / /«' — v’ fa* — i’\
5. L’équation que nous venons de trouver peut se transformer assez élégamment en y introduisant les fonctions H, 8 signalées par M. Jacobi. Pour cela, nous poserons dans l’équation (a),
<* = !, b = c sinX, 4ut = csimp, v = csinij/, v ' — c'sin’X = A(c, X),
et ainsi pour les angles f et <[i; et , en effectuant ces substitutions, cette équation deviendra
r fic’.7j. dv f* *<«'♦>-. d*, = log tang - -<•>»,
en adoptant ici pour la seconde intégrale le signe négatif, d’où résultera le signe positif dans l’expression du rayon vecteur. La réduction des intégrales que renferme cette dernière équation aux formes fondamentales des fonctions elliptiques s’effectue par les formules données par Legendre ( voir le Traité des Fonctions elliptiquesJ tome I", pages 70 et 71), et, conformément à la notation connue, notre équation devient
cotang XA(e, A) [Il ( — c*sin* X. c, qj -+- n (— c* sina )., c, i j
rotang » .
— i log tang4 - ;
a (r, a) tang -f]
a [4 (r, *) tang y — 4 (r, f ) tang 1) [4 (c, 4 1 lang / — 4 (c, X) tang Faisons maintenant
... , u .. . sKk
F le, *)=—-■
et les formides qui se trouvent à la page i3q du tome III du Traité des Fonctions elliptiques , donnent
rotang X
cotang X A (f, X) U (— c’sin’X, c, 9) = 4|og®i^
a Km fc’smXcosX F.(r), .. ' , .,T
PURES ET APPLIQUÉES. a:9
Mais on a aussi
îK [Viinlcosi E(r) „ ^ \ c/„ y-TI «/ + !*)
T\ *(r,i) +FWF(C,X)~E C,X)J - ~ o(HTÔ’
en désignant par 0* la dérivée de 0 par rapport à l'argument l ( voir le Traité des Fonctions elliptiques , tome III, page ii8); en sorte que l’équation de la ligne géodésiqtie peut s'écrire sous la forme suivante :
log^7y«(7-+-,j + a <“ + 9)
' . îK. .
sin am « -h t ) vin am — l -h *»]
= log tang’ ^ ^
sin am — (o — /) sin am — (/ — e)
d’où, en se rappelant la relation entre les fonctions H, 0, savoir,
2 Km i H u)
sin a ni = — (,
l'équation 'a) se trouve transformée en la suivante:
ag' i' -H =0 u.).,)
H (a -t 1)0 ;/-e o) — ta,,g â e
4. Si p, est la valeur de v qui répond k u = jtt, la derniere équation donne
w u /—o ,ang 2 = H^T+ëT) e
et si l’on désigne par u, l’angle (mesuré vers la section qui contient l’axe moyen et l’axe le plus petit) que l’arc géodésique compris entre le point (-J tt, e,) et l’ombilic opposé forme avec la section ombilicale, on a évidemment
ej+i»)
, ... Ul/4-e,) «(/+:»>'*’' •'
lano* i t»
en sorte que
tang’ — = rt— : e
tang “ tang ^ = e
+ { ir)
a8o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
On conclut de là que, si une ligne géodésique issue d'un ombilic O est prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre le même point O une seconde fois, alors sa direction w' ne coïncide pas avec sa direction initiale u, et l’on a, entre u et <*>', la relation suivante :
tang — = e tang -•
Ce théorème se trouve déjà démontré par M. Hart ( voir le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, n° XIX, pages 83 et 84).
Si l’on désigne par Û l’angle que la ligne géodésique, qui passe par le sommet de l’axe moyeu de la surface, forme avec la section des otnbiliçÿ, on a
a ' " ô l1 i tang - = e
fî. Quand un cône de révolution est circonscrit à un ellipsoïde , on sait que son sommet se trouve sur 1’hyperbole focale de la surface. Or M. Chasles a démontré que l’arc géodésique mené d’un point T de la courbe de contact à l’ombilic O situé sur la branche de l’hyperbole focale à qui appartient le sommet du cône, et l’arête du cône comprise entre son sommet S et le point de contact, ont leur différence constante. Il suit de là que toutes les courbes de contact dont il s’agit ont pour équation différentielle
fit* . rfv
y (a* — a’) (r* — p’j y a1 — v!j (r* — et, en posant (comme on l’a déjà lait)
p. = f sin ç, v = c sin vj/,
puis intégrant par des fonctions elliptiques, on trouve
7 étant une quantité constante pour chaque courbe de contact.
Je vais démontrer que si l’on représente par a l’angle du cône de
PUKES ET APPLIQUÉES.
révolution correspondant, on a
tang a tang a
Pour établir cette proposition, nous poserons TS = t, l’arc géodésique OT = p, et en désignant par y la distance du point T au plan qui contient les ombilics, nous trouverons d’abord
où dp est l’élément de la. ligne géodésique OT, et dy le changement correspondant infiniment petit dans la quantité y.
Maintenant, on a
d’où , en difTérentiant,
j 1 ^ ja 1 — b 1 |" { b ' — [ndp — ((*' — b ') ,rf*1
Mais on a aussi
dP = s/fttp * sj'hrï dv'
et simultanément
du ja' — |i! rf» ja' — V1
L'équation (3) fournit donc pour t la valeur suivante :
y/fa' — n’Ha’— v’i| \i — u'U»' — v')± » \J(c‘ — »') (a1 — p') |
1 — «>c> — a’ip’-t-
Or les formules pour l’addition ou la soustraction des fonctions elliptiques donnent
Una J n \(r' — f»1) (a‘ — v’) ± » \'(c' — »') — ji’l
a ÏV — a’ (fi’
Il s’ensuit que
v'V— >! tanp g
I orne XV- — Aoct i85q.
A présent, soit p la perpendiculaire abaissée du centre de la surface sur le plan tangent en T : on sait que
par conséquent
tang 7
Or la normale à la surface en T va rencontrer le plan des ombilics en un point F qui appartient à la tangente de l'hyperbole focale en un point S, d’où, en posant TF = n, nous avons
Mais on a aussi
t tang a = n.
np — o1 — A’,
et de là résulte enfin, à cause de la valeur de tang a que nous venons de trouver,
(5) tang 7 tang a = ,
ce qu'il fallait démontrer.
6. Nous allons maintenant exprimer la différence entre les quantités t et p en fonction de l’angle a- Pour cela, l’équation (4) donne, en y introduisant les angles p et au lieu des quantités p et y, et eu adoptant la notation des fonctions elliptiques,
et 1’
on a aussi
t = aà (î, p) A tanga,
p — n j E <j^ ± r— sin p sut <|< sin a |-
Or la formule fondamentale pour l’addition des fonctions elliptiques peut s’écrire de la manière suivante :
(6) A ?) A (ï* ♦) = A U' ^ s*n p sin t|i cos a [*],
[*] Pairie Traité fits Fonctions elliptiques, tome III, pige 196.
en sorte que nous avons
t-p = rt|tang<7A(y 7) -E (y s)].
d’où, en vertu de l'équation (5) , nous tirons
. , j u,| f*5* c osée’ *rf»
V^’UDg1 a + fl* — 6’) (fl1— f1 lang* a + fl’ — O* J
7. Remarquons maintenant, d’après M. Chasles, que si nous prolongeons une tangente à la ligne géodésique en un point quelconque T jusqu’à ce qu’elle aille percer le plan des ombilics au point S, ce point se trouve sur l’hyperbole focale de la surface; en sorte que l’angle a est l’angle entre la droite TS et la tangente à l’hyperbole focale au point S. Nous nous proposons de trouver la relation qui existe entre l’angle a et l'inclinaison 6 du plan oscillateur de la ligne géodésique au point T sur le plan qui contient les ombilics. Pour cela , soit T le point infiniment voisin de T sur la ligne géodésique OT, et supposons que sa tangente en ce point pierce l'hyperbole focale au pioint S' consécutif à S; on a donc
T'S' — l’arc géodésique OT) — (TS— l’arc géodésique OT) = d(l — p).
d’où, si (Je est l’angle infiniment pietit entre T'S' et TS,
fit
taug 2 ’
et, si y est le rayon de courbure de la ligne géodésique correspondant à l’élément ilp, on a
dp — y&t,
en sorte que nous tirons
d’où, en vertu de l’équation (7), nous déduisons la relation suivante entre les changements correspondants infiniment petits dans les quantités a et p le long de la même ligne géodésique
en posant
R = (a* tang* a ■+• a? — b ’) (a* — c * tang* a + a* — b‘). D’apres notre définition de l’angle 9, nous avons
sin 6 = — ~ >
(Mil a
d’ou , en différentiaut , nous tirons facilement
cotang 9 j
tang a
I Uilg «
ou bien, en vertu des équations (8) et (9),
dot
, db rsina cos cotang 9 — = —
a V tt — jo1 — è* ‘
da tsin’jv'R
Mais on a fait voir, n" 5 , que (10) pt tanga = fl* — b' ;
cela donne
cotang 9 -
q dQ cos* a v R — p — />*
sin * cos a v'R
Maintenant, 011 peut détnoutrer, avec un peu de calcul, qu’on a l'équation suivante :
cos’ a \'R — p Va*
b \c' — b' sin a y (a1 — é1) cos1 a — p'y’
et il n’est pas difficile de voir qu’on a aussi
COS 5 = s/fo1— b-y
(fl’ — b') cos a
[*] En effet, si l'on substitue duns cette équation pour p et y leurs expressions en coordonnées elliptiques , et pour sin » cl cm > leurs valeurs tirées de l'équation (5), elle sera trouvera transformée en
1 a v «' — c’ sin* <r v(«' — p’)?!»1 — v’i — (o’(o’— c’) (a’ — p’) (o' — s1) j sin' a ~ a' (aa1 — p1 — »') cos' e,
qu'on peut facilement rendre identique avec l’équalion (6).
en sorte que l’équation (i i) se trouve transformée en
de
sin 0 dx
équation qui s’intégre immédiatement, puisque les variables y sont séparées; et, attendu que u est la valeur de 9 qui répond à a = \ jt, on tire
Voilà donc la belle forme sous laquelle l'équation de la ligne géodésique qui passe par un ombilic d’un ellipsoïde a été mise par M. Hart ( voir le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, page 83). Il l’a obtenue par des considérations différentes de celles que je viens d’employer.
8. La marche que nous venons de suivre sert à démontrer une propriété des lignes de courbure de l’ellipsoïde que j’ai déjà trouvée dans mon Mémoire inséré dans le cahier de janvier 1848 de ce Journal , savoir, que si le point T est situé sur une ligne de courbure dont les foyers intérieurs sont les ombilics O, O', on a
