TOO' . TO'O

tang — — tang — = constante,

où l’on suppose que les angles sont formés sur la surface par les lignes géodésiques. La démonstration de ce théorème est fondée sur une propriété de la fonction que j’ai nommée P et qui figure dans la formule pour la rectification des courbes ellipsoïdales, savoir,

ds* = dp* •+- P ’ r/u’.

La propriété dont il s’agit a été signalée par M. Gauss, et se trouve citée par M. Liouville à la page 3o4 du tome XII de ce Journal. Elle s’exprime par l’équation suivante :

d' P P rff> + RR' — °’

(*] Il faut prendre le radical avec le signe négatif dans cette equation , parce que nous supposons que l'angle 0 va croître à mesure que l'angle a diminue.

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en se rappelant que M. Liouville désigne par \G noire fonction P el

par u et v les quantités que nous nommons p et u; R, R' sont les

rayons de courbure principaux de la surface au point (p, u).

Maintenant. l’équation v8) donne

dt t

«P 7 Ung *

et si D est le demi-diametre de la surface parallèle à l’élément dp de la ligne géodésique, on a

et aussi, en vertu du théorème de M. Joachimsthal ,

pli — a yja1 — c*;

en sorte que nous tirons

dt pt

dp a’ la’— t- Ung i

Or cette dernière équation devient, par l’équation ; toi, ou bien . puisque

dt

T — I “t" df