I.EMME

Si une Jonction de n lettres, non symétrique, a un nombre impair de valeurs distinctes, il est impossible quelle prenne toutes les valeurs dont elle est susceptible, par les seules permutations de n — a lettres.

ifi

•Soit

mu- fonction tic n lettres ayant un nombre impair // de valeurs distinctes, et supposons qu’elle puisse prendre ses fx valeurs par les seules permutations des n — a lettres

t , fi , • . • , L /.

Représentons ces u. valeurs par

') 9, (rt,6,...), ©,(«, b,...),..., fy{a,b,...).

Il est d’abord évident que la fonction V ne peut être symétrique par rapport aux lettres n et b, car toutes les valeurs qu'elle peut prendre seraient symétriques par rapport à a et b, et, par conséquent, cette fonction serait symétrique par rapport à deux lettres quelconques, ce qui est contre l’hypothèse.

Cela étant, faisons dans les fonctions (i) la transposition (a, b), elles deviennent

fa' 9, (6, 9,(6, « 9^(6,

Les fonctions (i) étant distinctes par hypothèse, les fonctions (a) le sont aussi, et comme la série (i) comprend toutes les valeurs de V, les fonctions (a) ne différeront pas des fonctions (i); d’ailleurs les termes de même rang de ces suites ne peuvent être égaux, puisque la (onction V n’est pas symétrique par rapport à a et 6. Supposons donc que l’on ait

9,(rt, 6,...) = 946.

en changeant a et b l’une avec l’autre, il vient

d’où il suit que les ternies de la suite (i) peuvent être groupés deux à deux , «le manière que les deux termes d’un même groupe se changent l’un dans l’autre, par la transposition (a, b). Or cela est impossible, puisque [x est un nombre impair. La proposition est donc démontrée.