RR

d’où, si l’ou substitue dans cette dernière pour t sa valeur tirée de l’équation (3), nous avons

dp' "l~ RR' — °’

Maintenant, si l’on compare cette équation avec l’équation (i3'i, on déduit que

p =.rt («),

et puisque, dans le voisinage d'un ombilic, la surface s’assimile à une

PURES ET APPLIQUÉES. a»7

sphere, on voit sans difficulté que

en sorte que

ce qui s'accorde bien avec l’expression que nous avons déjà trouvée | * ].

Mais si P, u' sont les quantités correspondantes avec P et u pour l’ombilic contigu, on a, le long de la même ligne de courbure.

PrZu -+- P'r/u>' = o, ou

sin u sinew' *

formule qui contient la démonstration cherchée [**].

9. Nous allons maintenant transformer l’équation (ta) en y introduisant la fonction 0 et sa dérivée. Pour cela, nous poserons

,anS/*=ÿCT.,anf?a’

et cette substitution transforme la quantité

b y/c * - r da —

y i"1 tang! i +• a’ — b')(a‘ — e’

en la suivante:

tang’ a + a' — 4’)

a' ije'—b' f fi* dj, a1 — b3 dl ,

b yâ'— b’ \Jl, <Ja'— c'sin’ /, Ji, 4'

ce qui devient, en au n" 5,

adoptant la notation ipte nous avons employée

rotang a a(c, X)

— cotang XA (c , X) [U (— c* sin' X, c) — II (— c' sin' X, c, Z,)].

[*] Fair le tome XIII de ce Journal , page 8.

[**] J'ai déjà publié cette démonstration dans le n° XVI du Cambridge and Dublin Mathematical Journal t page 159.

Maintenant, en posant

et en introduisant la fonction 6 et sa dérivée , cette derniere expression s'écrit de la manière suivante :

ïlog

0 (w — /) O1 l + yt) ^ w e {u> -+- /) 0 (/ + î n)

en sorte que l’équation (la) se trouve transformée en

tang1

«ang--

10. La formule (i4)« que nous venons de trouver, sert à déterminer la valeur de notre fonction P, quand l’arc géodésique auquel elle appartient coïncide avec la section principale qui contient les ombilics. En effet, il n'est pas difficile de voir qu’on a pour P l’expression suivante :

t sin a sin 4

Mais l’équation (i4) donne

sin 6 =

cos’ — h *’ sin’ a a

où x est une fonction de l’angle a; en sorte qu’on en déduit pour P la valeur générale

J, » t sin a

ce qui donne, pour &> = o, et pour u = 7t ,

cos’ — t- *’ sin’ a a

P = x / sin a ,

Il Considérons maintenant l’équation d’une ligne géodésique

quelconque sur l’ellipsoïde, savoir,

ft* cos’ i -+- v* sin’ i — fi, qui peut s’écrire de la manière suivante :

-+■ v’ tang’ 1 = j3(i H- tang* /).

Il est évident qu’on H = v, ce qui donne

peut satisfaire à cette équation en posant jx — b, v — b.

et, en même temps ,

tang ï = ± V— 1 ï

et, attendu que ces valeurs ne dépendent pas de fi, on peut dire que toutes les lignes de courbure sur l’ellipsoïde sont inscrites dans un même quadrilatère géodésique, dont les. côtés sont imaginaires, mais qui a deux sommets opposés réels, savoir, deux ombilics contigus. Les directions de ces côtés sont indiquées par un facteur imaginaire qui se présente dans l’équation différentielle des lignes de courbure sur l’ellipsoïde [*].

Il est presque superflu d'observer qu’une propriété analogue a été connue depuis longtemps |>our un système de coniques homofocales.

12. Je vais maintenant présenter un théorème qui sert à déterminer assez simplement la projection des courbes ellipsoïdales sur un plan. En voici l’énoncé :

a Une courbe quelconque, tracée sur un ellipsoïde (dont les ilemi- » axes sont a, \a* — b ’, va1 — c*) et ayant pour équation en coor- » données elliptiques

F (ft, v) = o,

» se projette sur les plans des sections circulaires par des droites pa- » rallèles à l’axe le plus petit de la surface en une courbe dont

[*] F'oir YÀnaly.sc appliquée à la géométrie des trois dimensions, par M. C.-F.-À, Lr.anT , pages 3oa , 3o<) .

Twin* XV. — Aodî iftüo.

» l'équation est

» où p0, v0 sont les demi-axes focaux de l’ellipse et de l’hyperbole » qui passent par la projection du point (p, v; et qui ont pour foyers ■> les projections des ombilics. »

Pour démontrer ce théorème , soit l'équation de la surface en coordonnées rectangulaires,

et l’équation de la projection sur le plan des x, y de ses lignes de courbure pour lesquelles p = constante, est

Maintenant, posons

jf = | cos Ç , y = n,

où Ç est l’inclinaison du plan qui coupe la surface su vant un cercle sur le plan des x, y; et, en effectuant ces substitutions dans la derniere équation, nous tirons, eu égard k la valeur connue de cos Ç,

Donc il est évident que les lignes de courbure pour lesquelles p = constante se projettent de la manière dont il s’agit en ellipses ayant pour équation en coordonnées rectangulaires (Ç, >j) l'équation (iî); et les projections semblables des lignes de courbure, v = constante , sont les hyperboles représentées par l’équation

Or les équations (i 5) et (16) représentent un système de coniques homofocales, ayant pour foyers les projections des ombilics; et l’on a , pour le système correspondant de coordonnées elliptiques (p0, v„)

PURES ET APPLIQUÉES. a9t

[d'après lequel les points du plan des r, sont déterminés par la rencontre de la série d'ellipses et d’hyperboles (i5) et (i6)].

Ko

. /fl’- b’

Ces expressions contiennent la démonstration du théorème énoncé.

Les deux exemples les plus élégants que ce théorème fournisse ont été donnés pour la premiere fois par feu Mac Cullagh et se trouvent cités à la page 4 du tome XI de ce Journal.

13. Il est évident que, si deux lignes géodésiques sont menées sur l’ellipsoïde tangeutiellement à une ligne de courbure donnée, et de manière que l’angle sous lequel elles s'entrecoupent soit constant, le lieu de leur intersection a pour équation en coordonnées elliptiques

(jl* cos1 i -+- v’ sin1 i = j3 , où i i est l'angle constant [ * ].

Par conséquent, celte courbe se projette sur les sections circulaires en une courbe, lieu d’un point tel, que si de là on mène deux tangentes à la conique qui est la projection de la ligne de courbure donnée, l’angle qu’elles font est constant et égal à l'angle donné a/.

14. Nous allons maintenant indiquer comment l’emploi des coordonnées elliptiques peut servir à résoudre le problème des trajectoires orthogonales sur l’ellipsoïde.

Pour cela , nous remarquerons d’abord qui si i, s' désignent les arcs des deux genres de lignes de courbure, il est évident que les équations différentielles suivantes,

Udr + Vrfi'= o, U ds' — V ds = o,

représentent un système de courbes orthogonales. Maintenant on a

, /(■*•- ,’)(fl’— v>: , ,, . Ht?— v*)ffl’ — (.’) .

ds- V (4--,I)(r’-v’) dv’ d* — V (l*’ -

[*] Ce théorème v trouve déjà énoncé par M. Besgr. Voir le tome XIV de re Journal, page *47-

pt, en substituant ces expressions dans les dernières équations, elles se transformeront dans les suivantes :

, dv -+- , . r dit. = o,

\f(b’ ,>) (r> - ,*) VV~ **)(**- P*)

- -=ÆEL= dv = o; fif=rb')(c> - P) r v(A’ — »*)

d’où , en posant

n = ü£EL=, m= vjÉEiL

nous déduisons que si un système de courbes tracées sur un ellipsoïde est donné par l’équation différentielle M dp -+- N dv = o ,

l'équation différentielle du système orthogonal est

(o’ — (*’) rffl (o’ »*) rfv