Appliquons maintenant ces généralités

Si les courbes données sont les sections circulaires de la surface, il est facile de voir qu’elles sont toutes représentées par l’équation différentielle

en sorte que l'équation du système orthogonal est

équation qui s’intégre tout de suite par des fonctions logarithmiques et circulaires.

En combinant cette dernière équation avec le théorème que nous venons de donner, n° 12, relativement à la projection des courbes ellipsoidales, nous retombons sur les résultats contenus dans un Mémoire de M Catalan, inséré dans ce Journal (voir le tome XIII, pages 483 à 490).

PURES ET APPLIQUÉES. a93

S’il «’agissait de trouver le système orthogonal des courbes de contact de tous les cônes de révolution qu’on peut circonscrire à l’ellipsoïde, nous aurions, pour l’équation donnée,

dfA </»

en sorte que l’équation cherchée serait

(a* — fi1)1 dp __ (fll — *') 1 dt p'—b' fc'—p’ b' — »' yV"' —

dont l’intégration s’effectue par des fonctions elliptiques.

Supposons encore que le système donné représente les lignes géodésiques qi:i passent par un ombilic de la surface, ou bien qu’on a

l’équation du système orthogonal s'écrit sous la forme suivante :

ce qui fournit l’explication de la règle que nous avons donnée au n” 2 , relativement à l’emploi du double signe qui se trouve dans l'équation de la ligne géodésique.

16. Remarquons ici que les courbes représentées par les équations^) et(i8) passent toutes par les ombilics opposés, et, ainsi que les lignes géodésiques qui passent par un ombilic, jouissent d’une propriété remarquable par rapport aux lignes de courbure. En effet , si le point T se meut le long d’une ligne de courbure, on a