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ung

constante ,

•ji)4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

où OT, OT sont deux lignes qui appartiennent simultanément à l'un ou à l'autre des systèmes de courbes (17) et (18).

17. Pour terminer ces applications, nous allons chercher l’expression pour l’angle sous lequel une ligne géodésique qui passe par un ombilic coupe un système de courbes données par une équation différentielle du premier ordre entre p et v. Pour cela, si l’on désigne par c l'angle dont il s'agit, on a

tan^ = si^Tp*’

mais l’équation (a) donne, par différentiation,

dy a I a * — pi1 dv / a * — v1 i fa* — A* dt»

d’ou nous tirons, en ayant égard à la valeur de y en coordonnées elliptiques,

. /(•*— !»*)(>*— J,, ± , /(«■-.■) (y*- P) , ydu V (y* — A’} (<•■ — p’) U y (A* — - »*) ( c* — v1) sin*'

et , en même temps ,

y/m dfi * \/S dv = dp'

en sorte que nous avons pour tang « la valeur suivante:

, (*’— »') V(°’— (*') («'— »*) ^ ±{y'— b* v'fo’— »’) Ce* — y')

f[y* — A1) (A* — 7) - - du ,

V(°’ — e’) (<■’ — »’) ;jr ^

où la valeur de ^ est déterminée par l’équation donnée.

18. Si l’équation donnée appartient aux courbes de contact des cônes droits circonscrits à la surface , on a

d± ± . /(“' — e’) (f‘ — t»’) rf, y fa’—

PURES ET APPLIQUÉES, et la valeur correspondante de tang s devient

ce qui donne

tang‘ vV- *•)(*’■ -»•)’

J tang e =

ap5

Cette équation exprime une propriété qui a son analogue dans les sections coniques, savoir: le rayon vecteur tiré d’un foyer d’une conique coupe la courbe sous un angle tel, que le produit de sa tangente trigonométrique et de la distance du point d’intersection à l’axe le plus grand de la courbe est constant.

SUR UNE QUESTION DE THÉORIE DES NOMBRES; P* a M. J.-A. SERRET.

M. Kronecker a donne, dans le tome XXIX du Journal de M. Crelle, une démons-' tration simple et élégante de ce théorème :

xp — t

Si p est un nombre premier , l'équation — = o est irréductible.

La proposition sur laquelle repose cette démonstration est susceptible d’extension et peut alors s’énoncer ainsi :

Si p désigne un nombre premier et que f[jc) soit un polynôme A coefficients entiers , tel que/{t) s= i (mod./;), ou fl«ra/(*)/(S).../(«)Bi (mod. p)> a, . , w étant

—files racines primitives de l'équation xp — 1 = 0.

F our le démontrer, posons

F.(«) =/(x)/(*VM. ••/(*'’■) = A. + A.x + ... , remplaçons x par chaque racine de xp — 1=0, et ajoutons les résultats: on aura

,A) ( ( r-r~') f.(«) + [f, Wmp^— r-) )]*'-+- . . .

'+(/>’— *)]'’" ’+(p — 01F,(*.-.)]^ +[/(')],"®0 (mod.p-),

x, x,, x„..., désignant des racines primitives des équations respectives

e* p*”1 je— ’ p

x * — i = of xp — i = o, x — 1 = 0,..., xp — 1 = 0.

La congruence (A) sert il prouver que K, (a) sa l (mod. p), x 'étant une racine primitive de x^* — i = o. On le démontre immédiatement [tour n =t; ensuite on voit aisément que, si cela a lieu pour n = i , 2, . . , p — ■ , cela est vrai aussi pour a = p. Divisant ensemble les congruences F («) se i et F («i)st (mod. p), on a

/(«)/(«).„/(»)-. (mod .p),

où a, o* désignent les racines primitives de xptA — 1 = 0.

De là on peut conclure que l’équation -

■ = X = o est irréductible, car si

X =/(*) ÿ(x)> k* coefficients de f(x) et ? (x) seront entiers, on aura f(i)f (i) =-/>. d’où f(i) = i et y (i) — p \ par suite, a, 6, <w étant les racines de X = o, on aura /*(«)/($). ./(«) (mod. p), ce qui est absurde, car le premier membre est nul.

On déduit facilement tie là que, quel que soit l'équation j* — i = o devient irréductible quand ou l’a débarrassée de ses racines non primitives.

l'URES ET APPLIQUEES.

SUR