Tome XV. — Aocî i85o

qu’ils r.e contiennent rien d’arbitraire ; que nulle hypothèse n’a été adoptée qui ne fût pas évidemment la plus vraisemblable, ou plutôt la seule admissible entre toutes celles qui pouvaient être imaginées. Et cela étant, la correspondance parfaite entre les résultats de deux méthodes qui reposent sur des principes entièrement indépendants, doit att moins être censée un fait intéressant, dans le cas même où l’on ne serait pas satisfait de l'explication de celte correspondance.

I . Supposons qu’une observation ait donné la valeur x, pour une quantité inconnue, et qu’une autre observation ait donné la valeur x3 pour la même inconnue; si l’on ne sait rien de plus, il est évident que l’on doit attribuer à cette quantité quelque valeur x intermédiaire entre x, et x,. Soit x, algébriquement moindre que x,. Alors, la première observation, considérée à part, fournit un motif à diminuer la valeur de x ; la seconde nous porte à l’augmenter. Donc x doit être déterminée de manière que ces deux motifs se fassent équilibre. Appelons Jorce tout motif qui nous porte à altérer la valeur attribuée à une quantité; et tâchons de comparer numériquement les forces de cette espèce, et de trouver les lois auxquelles elles sont assujetties.

2. Admettons que deux observations quelconques, de différentes qualités, soient toujours comparables à l’égard de leurs poids, de la manière suivante; c'est-à-dire qu’il existe toujours deux nombres-m et n tels, que si la première observation, m fois répétée, eût donné à chaque répétition la même valeur pour l’inconnue, nous aurions exactement la même connaissance de cette quantité que si sa valeur eût été tirée de la même manière de n répétitions de l’autre observation. Prenons les réciprocaux de m et de n pour mesures des poids des deux observations. Ainsi, en désignant par l’unité le poids d’une

observation donnée, et en posant ™ = g, on aura g pour l’expression du poids d’une autre observation dont n répétitions équivaudraient à m répétitions de la première.

3. La détermination d’une seule inconnue par une observation di-

recte peut évidemment toujours être représentée par la détermination d’un point sur 1111e ligne droite donnée, au moyen de la distance de ce point à un autre point fixe dans la même ligne. Supposons que deux observations, du même poids g, aient donné l’une le point A, et l'autre le point B, pour la position du point P qu’il s’agit de déterminer. Il est évident que l’on doit placer P à un point C également distant de A et de B; car 11 n’y a point de raison pour qu’on le plaçât plus près de l’un que de l’autre de ces deux points.

i- Le poids de cette détermination est a g. Je ne donnerai pas en détail la démonstration de cette proposition , qu’on établit aisément au moyen du principe de l'homogénéité, avec la même évidence qu’un peut donner, à priori, dans la Statique ordinaire, au théorème qui affirme que la résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme.

3». On pourra donc toujours remplacer les résultats de deux observations du même poids g , par leur moyenne arithmétique; et l'on pourra considérer cette nouvelle valeur de la quantité observée comme résultant d’une seule observation dont le poids est a g. Et, réciproquement , on pourra toujours remplacer une seule observation actuelle donnant x = x0, et dont le poids est g, par deux observations imaginaires donnant x = x. -h c , x = x0 — c respectivement, et dont les poids seraient égaux chacun à -J- g , en désignant par c une quantité arbitraire. D’où l’on tirera facilement la conclusion suivante , au moyen d’un raisonnement parfaitement semblable à celui qu’Archimcde a employé pour établir la théorie du levier, et qu’il serait inutile de répéter ici; savoir, qu’en désignant par g,, g,, g,,... les poids d’un nombre quelconque d’observations qui aient donné respectivement x,, x„ x,,... pour la valeur d’une inconnue x, on peut toujours remplacer ce système d’observations actuelles par une seule observation imaginaire donnant

g, -+- gi -+- g, ■+■ . . .

avec un poids égal à g, -+- g, -+- g, -+-....

C’est ce que j'appellerai la valeur la plus vraisemblable de x.

doo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

6. Maintenant il sera facile de découvrir la loi de la variation des forces provenant des observations. Soit g le poids d’une observation qui ait assigné le point A pour la position d’un point qu’il s’agit de déterminer dans une ligne droite donnée. Si l’on place le point dans une autre position quelconque P, dont la distance à A soit r, la variation de la force J\ qui l’attire vers A , s’exprimera évidemment par une équation homogène de la forme

dans laquelle J\ désigne la force à une distance constante /•,. D’ailleurs il est aisé de prouver que, pour une même distance, la force est proportionnelle au poids de l’observation. D’où il suit qu’en choisissant convenablement les unités de force, de poids et de longueur, on peut donner à cette équation la forme suivante

et il ne reste qu’à déterminer la forme de la fonction y(r).

7. Pour cela, observons que la position d’équilibre du point P, donnée par l’équation (i) du n° 5, serait précisément le centre de gravité des points assignés par les observations individuelles, si l’on attribuait à chacun de ces points une masse proportionnelle au poids de l’observation correspondante. Le problème se réduit donc à trouver la loi d’attraction selon laquelle la position d’équilibre d’un point soumis aux attractions d’un nombre quelconque de points matériels placés dans une ligne droite, se trouverait au centre de gravité de ces points. Or on sait que, pour que cette condition soit satisfaite, quelle que soit la disposition des masses attirantes, il est nécessaire et il suffit que la force soit en raison directe de la distance. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

8. Soit g le pouls d’une observation qui ait donné .r0 pour la valeur de la quantité observée, et soit x une valeur quelconque attribuée à cette qiuintité ; la Jorce provenant de l'observation et tendant à réduire x à la valeur xa, est proportionnelle au produit g. [x — xw), et peut s’exprimer par ce produit.

PURES ET APPLIQUÉES. 3oi

9. Au moyen de ce théorème, on pourra toujours exprimer les valeurs des forces provenant des observations. Pour exprimer aussi les conditions de leur équilibre, il suffira d'employer le princi|>e des vitesses virtuelles , dont on peut établir l'applicabilité par un procédé parfaitement semblable à celui de Lagrange. Je n’en donnerai pas ici les détails; seulement je ferai remarquer que la démonstration de I -a g range repose essentiellement sur les deux idées d’une ligne rigide et d’une ligne parfaitement flexible; idées dont on peut sc servir également dans la recherche des propriétés des forces dont il s’agit ici.

10. Soit donc un système, de valeurs t>, v’, attribuées à des

quantités assujetties à des liaisons quelconques; et soient f, /' ,

les forces qui agissent sur ces quantités; la condition d’équilibre sera

(a) Jdv +J'dv'+f'dv" +...= o.

[On démontrera ce théorème au moyen des considérations indiquées ci-dessus, et d’une construction dans laquelle »», v', v", . . représentent les distances d’un point fixe A dans une ligne droite donnée, à des points P, P', P',... dans la même ligne, dont il s’agit de déterminer les positions. J

C’est sur ce théorème, et sur celui du n° S, qu’est fondée toute la théorie suivante.

11. Il importe de déterminer la relation entre le poids et la précision. (J’emploie ce dernier terme dans le sens connu.) Pour cela, posons x — rnz , et désignons par l’unité la précision d’une observation dont le poids soit g , et qui ait donné pour x la valeur xa. On en déduira pour i la valeur s0 = et la précision de cette détermination de z sera m. Maintenant, si nous attribuons à ces deux quantité-s des valeurs quelconques x et s = — . nous savons (nu 8) que la force qui tend à réduire x à la valeur observée x0 est g (x — jr#). Soit f la force inconnue qui tend à réduire z à la valeur s0; si cette force agissait dans un sens contraire, il y aurait équilibre; on aura donc, par le principe des vitesses virtuelles (n° 10) ,

J dz = g {x- x0) dx ,

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d’où l’on lire aisément

J — mJg(s — z0).

Or, en comparant ce résultat avec le théorème du n“ 8, on voit que la force J \ qui agit sur 2, est la même que si la valeur de cette quantité, au lieu d’être déduite de la valeur observée de Jr, eût été déterminée par une observation directe dont le poids lut ni1 g ; de sorte que m* g est le poids de la détermination i — z0. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Soit g le poids d’une obsen’ation dont la précision est l’unité ; alors in'1 g sera le poids d’une observation dont la précision est ni; ou, eu d’autres termes, le /voids varie en raison directe du carré de la précision.

1*2. Puisque le risque d’une erreur quelconque e dans une détermination dont la précision est m, est le même que le risque d’une erreur me dans une détermination dont la précision est l’unité, il suit du théorème précédent, qu’en désignant par e’, e'*, e"’,... les carrés des erreurs qu’on a à craindre également dans des déterminations dont les poids sont g, g', g",..., on aura

gey — g' e'1 — g" e"> = ....