Soit

u = tf (v, v',

une fonction donnée des quantités indépendantes v, %>', e",... ; et soient g, g', g’,... les poids des observations qui ont donné pour ces quantités les valeurs

Alors, tant qu’on ne sait rien de plus, la valeur la plus vraisemblable de u, que nous désignerons par u0, sera

Mais si, sans aucune nouvelle connaissance sur les valeurs particu-

libres de v, u', u’,..., on était porté, par quelque motif que ce fût, à attribuer à u une valeur quelconque u, différente de r<0, il est clair que k, k', k",... cesseraient alors d’être les valeurs les plus vraisemblables de u, v', et que, de tous les systèmes des valeurs de ces

quantités qui donneraient u = u, , on devrait choisir celui qui ferait équilibre aux forces provenant des observations.

Or, la condition d’équilibre est (n1* 8 et l'i)

g[u — k) du g' (o' — k') du' -+- g'(»>' — k“)du" = o ;

et puisque les variations de u, u', u",... sont assujetties à la seule condition u = on aura

du , du , . du » „

— du -I- -r-, du -+- -rr, du + ... — o. dv dv dv

En éliminant une des différentielles entre ces deux équations, et en égalant ensuite séparément à zéro les coefficients des autres, on trouvera enfin

du du du

dv dv* dv "

Cette formule, jointe à l’équation u = u,, fournira autant d’équations qu’il y a des quantités u , u ', u',... à déterminer; et de cette manière on obtiendra les valeurs les plus vraisemblables que peuvent recevoir ces quantités en même temps que « reçoit la valeur

14. La formule (3) du dernier numéro, considérée à part, exprime la loi que doivent suivre les variations de u, u', u’,... quand on attribue à u une série de valeurs différentes. Je l’appellerai la loi tie rdtjuilibre relatif, puisque, si elle a lieu, les valeurs de u, u', u",... seront en équilibre entre elles pour chaque valeur de u.

la. Si les quantités u, u', u’,..., au lieu d’etre indépendantes, étaient assujetties à des équations de condition quelconques, les conditions de l’équilibre relatif cesseraient d’être exprimées par la formule (3), et seraient données par les équations qu’on obtiendrait en différentiant les équations de condition et l’équation u = u, , et en

3o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

égalant ensuite séparément à zéro les coefficients des différentielles

indépendantes, après avoir éliminé autant que possible d’entre elles.

16 Dans tous les cas, si l'on veut trouver la force provenant des observations et agissant sur u quand on attribue à cette quantité une valeur différente de u0, soit J la force dont il s’agit; en l’appliquant en sens contraire, on aurait l’équilibre du système; et, par conséquent, en vertu du principe des vitesses virtuelles (n°* S et 12),

f du = g(i> — k ) ffa -+- g'(v' — k')dv' -t- g’(v” — k") dv" -+- ....

De cette équation, ou tirera la valeur de J en substituant pour du la valeur ~ dv -t- ^ dv' -t-..., et pour dv, dv',... les valeurs qu’on

obtient en differential»! les équations de l’équibre relatif, comme ou le verra ci-après.

17. II suit du n° 8, que si l’expression que l’on obtient ainsi pour f était de la forme

dans laquelle C désigne une constante quelconque , alors C serait le poids de la détermination u = u0. En tout autre cas, cette détermination n’aura point de poids, selon notre définition de ce terme, à moins que les erreurs possibles des observations ne soient très-petites; en admettant cette supposition, et en désignant par L la limite de l’expression -^u correspondante à « — u0 . on aura, aux quantités du deuxième ordre près,

et , par conséquent, le poids dont il s’agit sera exprimé par L.

18. Appliquons maintenant à quelques exemples les principes cidessus exposés.

Problème I. Soit

u — no ■+■ a'v' + a"v" -t-...

PURES ET APPLIQUÉES. 3o5

une fonction linéaire donnée des quantités indépendantes v, v', v",..., et soient, comme auparavant, k, k', k",... les valeurs de ces quantités

fournies par des observations dont les jsoids soient g, g', g', Soit, en

outre,

u0 = ak -f- a' k’ -+- a” k’ -h...,

ce. qui sera la valeur la plus vraisemblable de u. On demande le poids de la détermination u = u„.

Solution. Si l’on attribue à u des valeurs quelconques différentes de m0, les variations de v, v', devront suivre la loi de l’équilibre relatif, c’est-à-dire (n ”13),

Soit f la force qui agit sur u, on a (n° 16)

J du = g(e — k) dv -+- g'[v' — k') dv' -h g”(v’ — k“)dvn -+-

Or on tire aisément de la formule (A),

g^-^de + g'^’- t')d,'+g’(,'adv-+- a ' d*' + a” d*m

«i(p — k) + at(9'—i’)+a”{v"~kB) + „.

équation dont le premier membre équivaut évidemment à J , et le numérateur du second à u — u0. On a donc enfin

d’où il suit (nM8 et 17) qu’en désignant par G le poids qu’il s’agit de trouver, on aura

( Voir la Theoria combination is de M. Gauss , art. 18. )

On peut aisément appliquer un procédé semblable au cas dans lequel u désigne une fonction quelconque, en négligeant les petites