Tome XV. - Août i*5o

JOUBNAL DE MATHÉMATIQUES quantités d’un ordre supérieur au premier. Mais je ne m'arrêterai pas à en donner les détails.

19. Problem* II. Les mêmes choses étant supposées que dans le problème I, soit, en outre,

w = bv 4- b'v' 4- b" v“ 4-...

une seconde fonction linéaire donnée de v, v', v",... dont w0 = bk 4- b'k' 4- b"k" 4-...

soit la valeur la plus vraisemblable. On demande les conditions de /'indépendance des deux déterminations u — u0,w= iv„.

Pour comprendre la signification de ce problème, il faut remarquer que si, sans apprendre rien de nouveau sur les valeurs particulières de v, v', on était porté, par quelque motif que ce fût , à

attribuer à u une valeur différente de u0, alors w0 cesserait, en général, d’être la valeur la plus vraisemblable de tv. En effet, posons, comme auparavant,

Si l’on attribue à u des valeurs quelconques, les variations de v, v‘, s>" .... devront suivre la loi de l’équilibre relatif (n° 13), savoir,

Or on tire aisément de celte formule la suivante

ou, ce qui revient au même,

Celte équation donne la valeur la plus vraisemblable de w, correspondante à une valeur quelconque de u. Et l’on voit que w ne peut

PURES ET APPLIQUÉES, pas rester toujours égal à tv0, à moins qu’on n’ait ab a' b'

a“bn

ce qui est la condition nécessaire et suffisante de l’indépendance des deux déterminations.

En supposant égaux les poids g, g', g",..., on aurait ab -t- a’ b' -t- a" b" = o

pour la condition cherchée, où l’on voit l’analogie entre cette condition et la perpendicularité géométrique.

Si les fonctions c, w n’étaient pas linéaires, ces conclusions subsisteraient encore pour de petites variations. Il faudrait seulement remplacer a, b, a', b',... par les valeurs de correspon-

dantes à v = k , v1 = k’,....

20. Problème 111. Désignons par v, v',...t k, k\..., g, g',... les mêmes choses qu auparavant ; mais supposons que v, v’, v’,..., au lieu rf être indépendantes , puissent être liées entre elles par des équations île comblions quelconques. Désignons par n un nombre positif, et soit

(4) u = [ g (v - ky + g' (o* - k'Y -+• g" (v- - k-y

On demande la force qui agit sur u quand on attribue à cette qiumtité une valeur quelconque.

Solution. Dans ce cas, l’équation qui exprime l’équilibre de v, v v",... pour une valeur particulière quelconque de u , savoir ( n” 15) ,

g(v — k)dv - 1- g'[v' — k')dv' + ...= 0,

est satisfaite identiquement; puisque, d’apres la forme de la fonction u, cette équation résulte immédiatement de la supposition

u — constante.

11 s’ensuit donc que tous les systèmes des valeurs de v , v‘, v",... qui donnent une même valeur à u (en satisfaisant toujours aux équations de condition données), seront également vraisemblables; et l’on n’aura

point de motif pour préférer un de ces systèmes à un autre. On peut les nommer systèmes de vraisemblance égale. Maintenant, désignons par y la force qui agit sur u ; nous aurons (n° 16)

fdu — g(v — k)dv- t-g'(e' — k')dv'- 1-...; et, en remplaçant du par sa valeur tirée de l’équation (4), on trouve

j = a nu " •