En posant
n= i ou u = g (t> — *)* + g'(t>' — A')’ -b...,
on a
Donc, dans cas, il y a une force constante qui tend à diminuer la valeur de u, tant que cette quantité (qui est essentiellement positive) est différente de zéro. Par conséquent , la valeur la plus vraisemblable de u sera la plus petite que puisse recevoir cette fonction en vertu des équations de condition données, et les valeurs les plus vraisemblables de v, v', v",... seront celles qui donnent à u cette valeur minima. Voilà le principe des moindres carrés. Mais je vais en donner une démonstration plus directe.
22. Problème. Soient x, j, z,... des variables indépendantes, et V, V', V*,... des fonctions données de ces quantités. Soient R, R', R',... les valeurs de V, V', V",... données par des observations dont les poids soient g, g', g",---- On demande les valeurs les plus vraisemblables de x , y, z,... et le poids de la détermination correspondante d’une fonction quelconque de ces quantités, en supposant que le nombre des fonctions V, V', V",... soit plus grand que celui des variables x, jr, z ,....
Solution. On a (n°* 8 et 10), pour l’équation d’équilibre, g (V — R) d\ -t- g' ( V' - R') d\ ' + . . . = o ,
laquelle se réduit à
- dQ. — o, a
si l’on pose
ll = g(V-K)*-4-g'(V'-K'),+-.
On voit donc que les valeurs cherchées de x , y, z,... doivent être choisies de manière que ü reçoive la plus petite valeur possible. Or, X, y, z,... étant indépendantes, les équations finales pour les déterminer seront
dsi dsi
lu °' 2F
<la
rh
23. Soient x0, y0, z01... les valeurs de x, y , z,... tirées de ces équations, et soit Qe la valeur correspondante (c’est-à-dire la valeur minima) de ü.
Or, si l’on attribue à ü une valeur particulière quelconque plus grande que û0 , la condition de l’équilibre relatif de x, y, z,... est satisfaite identiquement, puisque, dans ce cas comme dans le n° 20, cette condition se réduit à dil — o; donc, x,y, z,... ne seront assujetties à aucune condition outre celle de donner à ü la valeur particulière dont il s’agit. Soient X, Y, Z,... les forces agissant sur x, y, z, — On prouvera , précisément comme dans le n° 21 , que la force agissant
sur ü est représentée par Par conséquent, on aura, comme dans les problèmes précédents, en vertu du principe des vitesses virtuelles,
•j dil — Xdx •+- Y dy + Z dz -t-.,.;
d’où l’on conclut, à cause de l’indépendance de x, y, z,. ..,
„ i dn v i du „ 1 dù
A = - -7— y I = — T-I it = - T~
2 dx 2 dy 2 dz
24. Soit u une fonction donnée quelconque de x,y, z, ... et m0 sa valeur plus vraisemblable, c’est-à-dire celle qui correspond à x — x„,
y=y0, Appelons f la force qui agit sur u quand on attribue à
cette quantité, une valeur quelconque différente de m„; nous savons
(n° 23) que la force agissant sur Q est nous aurons donc, par le
3io JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
principe des vitesses virtuelles,
(5) j du = ^dû,
équation dans laquelle les variables x,y, sont assujetties aux conditions de l’équilibre relatif; c’est-à-dire (n° 13), puisque X, Y, Z,... sont les forces agissant sur x,y, s,..-.
IL — JL — JL
du du du dx dy dz
1 dix
Gela posé, la valeur de y sera - >
ou, ce qui revient'au même,
du
du
serait constante
d'où l’on voit (n“ 8) que, dans le cas où
(ce qui, en général, n’arrivera pas), la valeur de cette quantité exprimerait le poids de l’équation u = «0. En tous cas, on pourra prendre la limite de cette expression, ou, ce qui revient au même, la limite
de pour représenter le poids dont il s’agit en supposant I
petites les erreurs des observations.
tres-
'23. Dans le cas où l’expression a ^ obtient une valeur con-
stante en vertu de la formule (A), n°24, soit G cette valeur; nous venons de voir que G exprime le poids de l’équation u = «0. En intégrant l’équation
dû = Grf. (« — «,)*,
on trouve
équation qui n’est pas identique, mais qui subsiste en vertu de la formule (A). On voit aisément qu’elle donne le minimum relatij de 12 , c’est-à-dire la plus petite valeur que peut recevoir cette fonction en même temps que u reçoit une valeur quelconque donnée; en effet, la formule (A) exprime la coexistence des équations
dû = o, du = o.
PURES ETl' APPLIQUÉES. 3n
Il suit de cette équation (7) que, si l’on ne peut supposer la vraie valeur de fl plus grande que Q0 -+- £*, alors la vraie valeur de u sera
nécessairement comprise entre les limites u„ ± y/^p ( Theor. comb.,
art. 30.)
26. Prenons, par exemple , u = yü — Û01 alors «„= o, les conditions (A) sont satisfaites identiquement, et l’on a
dsi
D’où il suit (n° 24) que le poids de l’équation
est égal à l’unité. Par conséquent, si l’on sait, soit à priori, soit à posteriori, à l’aide des observations elles-mêmes (comme on le verra dans la suite) , que it € est l’erreur à craindre dans une détermination dont le poids est l’unité, la valeur de fl qu’on a à craindre sera évidemment Û -+- £J. Aussi, si l’on désigne par «, m», G les mêmes choses que dans le n° 2o , l’erreur à craindre dans la détermination u = u0
sera ±: (Voir le n° 12.)
27. Puisque l’équation d’équilibre relatif est satisfaite identique-
ment par la supposition fl = contante, il s’ensuit, comme dans le il® 20, que tous systèmes de valeurs d ex, y, qui donnent une
même valeur à Q, sont des systèmes de vraisemblance égale.
28. Dans le cas où il n’y a que trois variables indépendantes x, y, z, on peut donner une illustration géométrique de la théorie que je viens d’exposer. Soient x, y, a les coordonnées rectangulaires d’nn poiut dont il s’agit de déterminer la position la plus vraisemblable. Cette position sera le point dont les coordonnées x0, y0, z0 satisfassent aux équations
et à ce point, que je désignerai par O, les forces provenant des observations et agissant sur P se feront équilibre; mais, dans toute autre position , P sera soumis à une force dont les composantes seront X ,
Y , Z. Si l'on donne à t une série de valeurs croissantes, l’équation
représentera un système de surfaces semblables disposées autour du point O, dont chacune sera une surface de vraisemblance égale. En effet, puisque X, Y, Z sont proportionnelles aux coefficients différentiels partiels de Q, la force agissant sur P sera toujours normale à la surface sur laquelle ce point est placé; de sorte que, si P était obligé de rester constamment sur une quelconque de ces surfaces, il serait en équilibre en quelque position qu’on le plaçât. En désignant par t la même chose que dans le n° 2(i , on peut représenter le manque fie précision du résultat, en disant que les observations déterminent , au lieu d’un point, Y espace inclus par la surface dont l’équation est
il = Q0 4- 1».
29. Considérons maintenant le cas où les fonctions V, V', V' ,... n° 22) sont linéaires, auquel se réduisent, comme on le sait, tous ceux qu’on rencontre ordinairement dans la pratique.
Posons
Vï(V-K)=v, vV(V'- K') = *',....
Alors, puisqu'une observation de V, dont le poids est g, équivaut ( n“ 11 et 12) à une observation de \ g.V, dont le poids est l'unité, nous pourrons supposer que les équations
aient été données par des observations dont chacune a un poids égal à l’unité.
Cela posé, soient
v = ax 4- by 4- cz 4- ...4- À,
— a'x 4- b'jr 4- c'z 4- ...4- k',
nous aurons ^n° 22)
PURES ET APPLIQUÉES 3i3
puis, en posant n’+rt'1-»- a’* +...— 2 («’), etc.,
Y = ^ ^ =2 (aé) x -*-2 (*’) t +2 z z = î^=2(<,c)x +2i^).r +5>’) 5 +■■■■'-'£{<*)<
et les valeurs les plus vraisemblables x0, jr0, z#)... des inconnues seront celles qui satisferont aux équations
30. Supposons qu’on ait déduit des équations (8), par l’élimination ordinaire, les valeurs de x, j , z,... en fonctions linéaires de X, Y, Z,...; il est clair que le terme constant dans la valeur de x «loi! être x„, et ainsi pour les autres; de sorte qu’on aurait, en exprimant les coefficients par la notation de M. Gauss,
x=.r0+[aa]X-t-[aj5]Y -t-[ar/]Z -4-...,
J = fo-+- (j3a]X + [j9|3]Y -+- 1 /3 7 ] Z z = z, + [y«] X + [7/3] Y + [77] Z
31- 11 est aisé de voir que les poids des équations x—x0, y — X„i z = z„,...,
s’expriment par les réciprocaux des coefficients [fut], [[îfi], [77],
En effet, si l’on attribue à x une valeur quelconque, la force agissant sur cette quantité est X; et, pour que les autres variables^, z,... soient en équilibre entre elles, il faut qu’on ait Y — o , Z = o,....
Or, en vertu de ces conditions, on tirera, de la première des équations^).
