En intégrant l’équation
f/û = G (u — «„) du,
on a, comme dans le 11“ 25,
Ü — ii0= G (m — M0)’,
équation qui a lien seulement en vertu de la formule (A). El en désignant, comme auparavant, par ±. e l’erreur à craindre dans une détermination dont le poids soit l’unité, on aura ± -- pour l’erreur à
craindre dans l’équation u = n„ ; expression qui , dans les cas particuliers de
devient
± I v[«a], ± e vfpip] . - £ vfyyl
En supposant les variables indépendantes réduites à trois, et en les considérant comme les coordonnées rectangulaires d’un point P, on aura, pour les surfaces de vraisemblance égale, un système d'ellipsoïdes semblables dont le centre commun est la position la plus vraisemblable du point P; et l’espace inclus par l’ellipsoïde dont l'équation est
Il = il» -1- É%
représentera le manque de précision de cette détermination.
On peut poursuivre cette illustration dans plusieurs détails intéressants, et même l’étendre au cas général, en suivant l’analogie entre l’équation île l’ellipsoïde et l’équation
1) = constante ,
dans laquelle le nombre des variables indépendantes est quelconque. Mais je ine contenterai ici de l’avoir seulement indiquée.
Je vais maintenant expliquer la méthode de déduire des observations la valeur de c*.
35. I.a quantité que nous avons désignée par c est ce que M. Gauss a appelé error médius mctuendus. Si l’on connaissait les erreurs actuelles de n déterminations indépendantes, dont chacune aurait un poids égal à l’unité, alors le quotient qu’on obtiendrait en divisant par 11 la somme des carrés de ces erreurs, représenterait la valeur de t* avec d’autant plus d'exactitude que le nombre n serait plus considérable.
Or je vais démontrer qu’en désignant par a le nombre des observations ou des fonctions v, v', v",..., et par r le nombre des inconnues x,jr, z,..., on peut toujours tirer des observations elles-mêmes s — r exemples de l’erreur d’une détermination dont le poids est l’unité, et que la somme des carrés de ces erreurs est égale à iJ„. Donc , on pourra poser
avec d’autant plus de confiance que le nombre ar — t est plus grand.
ii K JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
3(i. En effet , soit /, i’-,‘ un système de s coefficients
qui satisfassent aux t équations
ou
nous aurons alors identiquement
(t i) /t>4- /V-t- l"v- + ...= Ik -t- /'*'+ l' k’
ou
Or les observations donnent
avec des )>oids égaux à l’unité; de sorte que la valeur de ^ (/«O déduite immédiatement [ *] des observations est
2(fr) = »,
et le poids de cette détermination est i n° 18) le reciprocal de /’ -t- /" -+- /** -t-.... Supposons que /, l', l’,... soient assujetties, outre les équations (to), à la condition
Nous aurons donc, au moyen de l'équation (il), un exemple actuel de l’erreur e d’une détermination dont le poids est l’unité, savoir,
Maintenant, puisque l’élimination des t quantités x, y, z,... entre [*] C’rst-à-dire sans avoir égard aux liaisons qui ont lieu entre «►', o",....
1rs a équations
v = or -(- by -t- ci -i-..., v' = a'x -+- b’ y c'a -t-...,
j>eut fournir, en général, u — t équations linéaires essentiellement différentes entre v, t*', telles que l’équation (n), on pourra
trouver a — t exemples distincts d’une erreur telle que e. Pour cela. | «osons
et soient
des coefficients dont chaque système compris dans une ligue horizontale soit assujetti aux t équations
On aura donc identiquement
Or on tire directement des observations
de sorte qu’on a les i erreurs actuelles
seulement, afin qu’on puisse se servir de ces exemples pour en déduire Y erreur moyenne, il faut choisir les coefficients l, , etc., de manière que les équations (t3) soient des déterminations indépendantes (n" 19), et, de plus, qu’elles aient chacune le même poids. Il faudra
donc ajouter aux équations (ta) les suivantes, c’est-à-dire les"1 équations
3ao JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
en vertu desquelles (u° 19) les determinations (i3j seront indépentlantes; et, de plus, les i équations
en vertu desquelles chacune de ces déterminations aura un poids égal à l’unité.
Il faut observer que le nombre des coefficients /, etc., est ai, tandis que le nombre des équations (ta), ( 1 4), (t5) est i (7 ~
ce qui ne peut jamais surpasser c»; de sorte qu’on pourra généralement satisfaire à toutes les conditions d’une infinité de manières différentes. Cependant le résultat sera toujours le même, comme nous allons le voir.
