Posons

Ce sont les erreurs actuelles de i déterminations indépendantes dont chacune a un poids égal à l’unité.

Maintenant, puisque e, v', e",,., sont assujetties (n° 3G) aux i équations de condition

on peut se servir de ces équations pour trouver la valeur minima de Ü ou de 2 (*'*)• En effet, en égalant à zéro les différentielles de Ü et de ces » équations, on a

2(f(fe) = o, 2 l*(lv) = °*-. =

équations qu'on jieut remplacer par les a suivantes t> = P, /, 4- P2/a 4-. ..-f- P|/|,

^,== P| /j 4- Pj/j 4-.. .4- P, l, f

(,bl V= P,f;+ p,/;+...-i- P./;,

PURES ET APPLIQUÉES. 3a i

en désignant par P,, P,,..., P, des multiplicateurs indéterminés. Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées, la première par /, , la deuxieme par l\ , etc. ; il résulte

De même, en multipliant les équations par /,,

et ainsi de suite jusqu'à

Ct-

Ainsi les équations (16) deviennent

v'— e, tt -+• et l't -I- . . . ■+ e{ l, ,

on trouverait

lesquelles sont les valeurs de v, v\ v",..., qui donnent à ii sa valeur minima S20. Or, si l’on ajoute leurs carrés en ayant égard aux équations (14 ), ( 1 5) , on obtient pour la valeur actuelle de cette minima,

38. Il s’ensuit donc que la valeur moyenne du carré de l’erreur d’une détermination dont le poids est l’unité, est

a en juger par les i exemples e,, e,,..., e<; et puisqu’il n’y en a point d'autres, cette expression fournit la meilleure valeur de t qu’on puisse obtenir sans d'autres connaissances que celles que fournissent les observations elles-mêmes. Ainsi l’erreur à craindre dans une détermination quelconque dont le poids soit G, sera (n°*2tt et 34)

39. Ces résultats s’accordent d’une maniéré remarquable avec ceux qu’a donnés la méthode de M. Gauss. En effet, ce géamètre a dé- ToraeXV. — Swtuuiï iS5o. 4*

3a» JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

montré ( Theor. comb., art. 38) qu’en désignant par fi1 la vraie valeur de c’est-à-dire celle qu’on déduirait d’un nombre infini d exemples, et par M la valeur moyenne qu’on trouverait pour ÜB, en répétant un nombre infini de fois le système entier des observations, on aurait

Mais, puisque la vraie valeur de M est inconnue, on est obligé de se contenter de celle que fournit le système unique actuel des observations. Ainsi la valeur la plus vraisemblable de t* se trouve exprimée,

comme ci-dessus , par —

-M). Je ferai remarquer, en conclusion, qu’on lie peut établir entre e\, e*,.... e,* aucune relation différente de celle qu’exprime l’équation

e\ -+- e\ -t- ...-f- ef = Q0;

de sorte que cette équation fournit le seul moyen que nous possédions d'évaluer, à posteriori , les erreurs des observations.

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