DISCUSSION ANALYTIQUE
De deu.c surfaces particulières qui jouissent de ta propriété d'avoir pour chacun de leurs points les deux rayons de courbure égaux et de signes con traires ;
I*An M Michael ROBERTS.
Dans un Mémoire, inséré dans le tome XI de ce Journal , page 3oo, j'ai donné quelques détails relatifs aux équation* intégrales qui représentent généralement toutes les surfaces dont les rayons de courbure sont égaux et dirigés en sens opposés. J'ai déterminé les formes particulières que prennent les fonctions arbitraires qui se trouvent dans ces équations quand elles appartiennent à une surface engendrée par une droite ou à une surface de révolution. Dans le Mémoire actuel, je me propose de présenter deux nouvelles surfaces qui comprennent, comme cas particuliers, celles que j'ai déjà discutées, et qui, je crois, méritent d’être remarquées. Elles offrent, en outre, une application assez élégante de la théorie des fonctions elliptiques. La première sera représentée par le système suivant :
Ij — i x = cosX -f- cos g, j — i ay = sin X -t- sin g ,
a z =f y cos’ X -+- a1 sin* X r/X -t -f \Cos’ g -i - «* sin’ g dg ,
où nous supposons que a est moindre que l’unité. 11 est facile de voir que si a = i, ce système appartient à un héliçoîde gauche.
Il faut d’abord faire disparaître les imaginaires, ce qui peut s’effectuer de la manière suivante.
On a évidemment
(j— i x — cosX)’ -I- (v — i ay — sin X)1 = t,
d’où
■ igS±iï£ = .,
COS A — V — I JT COS A — /
ce qui donne
* (x’-HaVr'V-*- 4*'*' O
COS Xcosp = 4(x. + a-jy,) = P’
et, pareillement,
sm X sin fi = 4^r+.,r.) = Q
Considérons maintenant l’équation
. aP , , P1 — Q’ «'
'■-7=<^' + rrïïb=0.
en posant a'a = i — a*. Si l’on substitue t pour / dans le premier membre de cette équation, il devient
et pour t — — t, sa valeur est — ^ Il suit de là que l’équa-
tion (a) n’a qu’une racine entre — i et -+- 1 , représentons-la par cos u ; l’autre sera comprise entre — i et — oo , ou entre •+■ i, -f- oo , selon que la quantité t — Q* a'1 est positive ou négative. En combinant la formule pour l’addition des fonctions elliptiques de la seconde espèce avec la troisième équation du système (i), nous tirons
oc* — J" v'cos* u -t- oc1 sin* u du -t- a'* sin X sin p sin u , ou, en faisant usage de la notation connue,
et notre surface sera représentée par les équations (a) et (3), en posant dans la première t = cos u.
PURES ET APPLIQUÉES. 3a5
Ce système peut se transformer assez élégamment d’une maniéré que je vais maintenant exposer. L’équation (a) peut s’écrire sous celle forme
4 ( x’ -+- a’j'1) cos u
= [(x* -+- a’y*)* 4- 4x*] y ■ — a” sin1 u — (x’ 4- a1/1)’ — 4 a1/’, ou
(x* + a*7*)’(i — y i — a” sin’ w)
= 4 ( V • — *'* s>n’ u — cos u ) — 4 a’7* ( i 4- cos u) ,
ce qui donne
» , , , i^l — a'1 sin’ u — cos u /ii 14- ai#»
I — y 1 — »'* «O1 « * — y l — a'* sin’ m
Soit maintenant
Jf» rfT I p </«
o i — sin’ y 3 v'o — a’ sin’ u
et la théorie des fonctions elliptiques nous donne
et aussi
^i— sin’ u — cos u
i — y i — « sin’
en sorte que l’équation (a) devient
' ' v ^ * a* \cos*j wd ' tf /
et l’équation (3), en y introduisant l’angle f , se transforme en
l rr\ ** T- c„< V^I - 7"sin’y /x’sin’T — «'7’cos’t\
i V > T1) sinycosf \ x*4-«V /
Le système (i) se remplace donc par les équations (4) et (5) qui ne contiennent plus d’imaginaires.
Pour la ligne de plus grande pente sur cette surface , ou a ( voir le tome XI de ce Journal , page 3o4)
\/i — a" sin’ XrA — yft — a” sin’ fxd[x= o,
ce qui donne, en intégrant,
E^, X) — E(a', p) = constante.
Maintenant, si nous posons
E(a\ X) — E(at', p) = E(a', â) — a” sin X sin p sin d.
il n’est pas difficile de voir que cos â est la plus grande racine de l’équation (a); d’où, en substituant pour cosd, ^ — i tang <J<, 41 sera une fonction réelle des quantités x et en sorte que l’équation de la ligne de plus grande pente s’écrit finalement
* y' i —• ÿ cos* ^
H - «ang <j, = cons,anle
Les quantités y'i — a '* sin’ X, v i — a" sin’ p sont îles fonctions imaginaires conjuguées de x et y. En effet, nous avons
Vt — o'’ sin’ X Vi — o'1 sin’p =
sin (X 4- p) [cos (X — p) — cos*») sin X sin p sin*»
el aussi
V i — a" sin* X — y i — a” sin’ p = Mais le système (t) donne cos(X -H p) = cos(X — p) =
sin (X p) = sin (X - p) =
sin (X — pi (cos (X 4- p) — cos*») sin X sin p sin »
et, en vertu de ces dernières équations, la proposition dont il s’agit est démontrée.
Cherchons à présent l’équation des lignes asymptotiques sur la surface. Pour cela, les équations qui se trouvent dans mon Mémoire (voir le tome XI de ce Journal, page 3o3) donnent, dans le cas actuel,
y/i — a" siiiC ÿ i — tt'> si
surp
PURES ET APPLIQUÉES. 3a7
et il faut transformer cette dernière en une équation entre x et jr débarrassée des imaginaires. Nous poserons d’abord
, v'i — et" »in’ * — Jâ , <J I — a” sin’ 1 y a
cos 6 = — - — . cos = —=»
(i — ^â)yi — a',sin' )t (1-4-^âjyi — «''jin’*
-, yil — «”sin'« — y a ,, y/ 1 — a'1 sin* a -f- y' a
COS 0 — — 5 — ■ - ~ -=.1 COS y = — — — 1— -
(i — /j)yi — a''*in’fi (i + ^«)y i — a'’ün'f«
et
Mais l’équation donne, en intégrant par des fonctions elliptiques, F (A, ô)-(-F(A', <}.) ± [F (A, 0’) -t- F (À\ f )]= constante
(vo/r le Traité des Fonctions elliptiques, tome I, page 179), et, en posant
F ( *, *) -H F ( *, I') = F (lé, -n , F ( * ) - F ( lé, f ) = F (<'. *X
les lignes asymptotiques seront représentées par les équations sui vantes :
(7) F (k, 9”) 4- F (A', tf”) = constante,
(8) F [k, 9.) ■+■ F (k1, <|i#) = constante.
Il est à observer que les fonctions qui entrent dans ces équations sont à modules complémentaires.
Considérons maintenant l’équation
t = cos 0 cos 0' — sin 0 sin 0' y/kJt -t - k* t*.
ce qui donne (9) **-
a cos 8 co» 6'
1 — tr‘ iin’ ( lin* ti
cos’Oco*’ S' — é'’»in’8 sin’ S' H 1 — **»in’«»in*9'
On voit immédiatement que les racines de cette équation sont les quantités que nous venons de nommer cos 0”, cos âw. Or, en substituant
— i | m > 1 1 r t dans le premier membre de la dernière équation , il devient
( cos 9 — cos 9' )’ i — J’ jin’ 0 siu’ 9' ’
et la substitution de -+- i donne pour résultat
( cos 9 -4- cos 9' )’ i — J’sin ”> sin’ 9'
Mais, en nous reportant aux expressions de cos 9, cos 6' en fonction de x et de y , il est facile de voir qu’on a
cos 5 = L + M \j~ i , cos fl'= I. — M v — i ,
où L, M sont des fonctions réelles d" x et y, en sorte que l’équation (9) n’a qu’une racine entre — 1 et 4- 1. Il suit de lit que l’équation {7) ne contient que des quantités réelles, tandis que les angles 9>t ij»,, qui se trouvent dans l’équation (8), sont imaginaires. On peut les faire disparaître de cette manière. Posons
cos 9, = V— 1 fang Ç, , cos <|i# = v' — 1 tang Ç, ;
alors Ç(, seront des fonctions réelles de x et y, et l’équation (8) se transformera dans la suivante :
F (À', Ç,) -+- F (A, Ç#) = constante.
Une marche tout à fait semblable à celle que nous venons de suivre, serti déterminer l’équation des lignes de courbure.
La seconde surface que nous nous proposons de discuter, sera représentée par le système suivant :
l x = cos X -+- cos fl ,
(to)ta^= sin X — sin ft,
f «a = V — 1 ( J Vcos’X -1- a 1 sin ’ XrfX -t- / y1 cos* ft -h a’ sin’ ft tlji ).
Il faut d’abord chasser les imaginaires, ou bien présenter l’équation de la surface sous une forme réelle. On a
(x — cos X)* -t- { ajr — sin X)’ = 1,
ce qui donne
3aq
cos1 ) — jr cos A -+- — ,-y—: — - — = o,
d'où nous avons
cos A cosu = = p
cos a cos ft 4 (x> + «■/•)
et aussi
sin A sm a = — ! — . . , . J = Q.
Pour que le système (ro) puisse représenter une surface réelle, il faut que la quantité X* -+- a* y2 ne soit pas moindre que 4> et attendu qu'on a
cos A cos fi.
et
sm A sin n — —,
il suit de là que cos A cosp est essentiellement positif, et sin A sin a est essentiellement négatif. Nous posons maintenant, comme auparavant,
ou
i-t-QV i — QV’
Il n’est pas difficile de voir que cette équation a une racine comprise entre -t- i et — i , et propre à représenter le cosinus d’un angle réel; et l’autre entre -+- i, + oo ou entre — i , — * , selon que i — Q5 a'1 est négatif ou positif; et, en écrivant, conformément à la notation des fonctions elliptiques,
E (o', A) -+- E(o', fi) = E(a', <?) -t- a” sin A sin p sin <7 ,
cos a est la racine la plus grande de l’équation (i i) (abstraction faite du signe); d’où, en posant
sin a = \j— i tang t),,
