Tome XV, -Smnm i85o. 4a

33o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

•■j» est une fonction réelle de x et y, et l’équation de la surface dont il

s’agit s’écrit par le système suivant :

P cos tji — Q V i — «* sin* <|» = i ,

ïî = tang

- — y/i—a1 sin* || — F (a, <ji) + E (a, $).

Les lignes de courbure et les lignes asymptotiques sur celle surface peuvent être déterminées d’une manière semblable à celle que nous avons déjà employée.

Nous terminerons eu faisant un examen de la trace de cette surface sur le plan des x , z. Pour cela , soit y = o , ce qui donne X = p. dans le système (10); d’où la courbe dont il s’agit est représentée par les équations suivantes :

1 v — 1 V-r’ — 4 , C/ > 'll

smX = - 3i zz = a y— i E(a, X).

Pour faire disparaître les imaginaires, nous jioserons sin X = V — i tang <u,

et l’équation de la courbe résulte de l’élimination de <u entre les équations suivantes :

x = a séc 4>, y = ,an8 w V * — «* 8>n’ u -f- F (a, ta) — E («, u).

Cette courbe admet une équation assez simple entre son arc ( s et l’abscisse (ar). En effet, on a

a tit — a’sin’ »

î rfw cos1 «>

d’où nous lirons

ce qui donne

tiz /a'îx,-t-4«J

a y dx* •+■ A* —

ou bien, en intégrant.

x tix

a s = yjx* — 4-

PUKES ET APPLIQUÉES 33 1

Nous allons maintenant démontrer que la courbe dont il s'agit est comprise entre deux asymptotes.

Pour cela, remarquons d’abord que l’équation de la droite tangente au point x’, z' est

et . si nous posons

on tire pour x' une valeur intinie, et pareillement pour s'. Il suit de là que la droite ayant pour équation

est parallèle à une asymptote. Cherchons la distance de l’origine des coordonnées au point où cette asymptote rencontre l’axe des abscisses (x). Dans l’équation

soit 2=0, ce qui donne

ou . en remettant pour .r', z' leurs valeurs en fonction de u,

x = 7' [ a u ~ tang“ V^t — a’sin’ w — F(a, u) -i- E(«, u) ] , ce qui donne, pour

La distance de l’origine au point où l’asvinptote coupe l’axe des z

est »{*(■)-«(■)) a

Si a= i, la courbe devient la chainette.et les asymptotes passent à l’infini.

MÉMOIRE

SUR