LA THÉORIE DES COURBES A DOUBLE COURBURE

Pah M. J. BERTRAND

On sait que les normales à une même surface jouissent de propriétés nombreuses et indépendantes de la surface particulière que l’on considère. Ces propriétés constituent une partie importante de la théorie des surfaces. Je cherche, dans ce Mémoire , à caractériser d’une manière analogue les normales principales d’une même courbe. Ces droites jouissent, comme je le fais voir, de propriétés très-précises et indépendantes de la courbe particulière que l’on considère. En d’autres termes, une surface gauche étant donnée, ses génératrices ne sont pas toujours les normales principales d’une meme courbe. Les surfaces réglées peuvent être, sous ce point de vue, partagées en ■quatre classes :

i°. Les surfaces dont les génératrices ne sont les normales principales d'aucune courbe;

a". Les surfaces qui ont pour génératrices les normales principales d’une seule courbe;

3°. Les surfaces dont les génératrices sont, à la fois, normales principales de deux courb<s distinctes;

4°. Enfin, les surfaces dont les génératrices sont normales principales d’un nombre infini de courbes distinctes : cette dernière classe ne contient que les hélicoîdes à plan directeur.

Une surface étant donnée, j’indique le moyen de déterminer la classe à laquelle elle appartient.

Parmi les résultats particuliers auxquels je suis parvenu, je citerai les suivants :

Les normales principales d'une combe ne peuvent jamais Jormer une surface du second degré.

Pour que les normales principales dune courbe soient , en même temps, normales principales d'une autre courbe , il faut et il suffit qu’il existe, entre les deux courbures de cette courbe, une relation linéaire.

Si les génératrices d'une swjace réglée sont les rayons de courbure d'une ligne tracée sur celte surface, cette ligne a, en chaque /mint, son plan osculateur tangent à la surface.

On sait, en effet, que le plan oscillateur d'une courbe passe par la tangente à cette courbe et par la normale principale. Or ces deux lignes sont ici la tangente à une ligne tracée sur la surface réglée et la génératrice même de la surface. Elles déterminent, par conséquent, le plan tangent qui coïncide, par suite, avec le plan oscillateur de la courbe.

Si tes génératrices d’une surface réglée sont les normales principales d’une ligne tracée sur cette surface, en chaque point de cette ligne, ta section faite dans la surface par un plan normal à la généi at rice a un rayon de courbure infini.

On sait, en effet, par le théorème de Meunier, que le rayon de courbure d’une courbe tracée sur une surface est le produit du rayon de la section normale menée suivant la même tangente, par le cosinus <le l’angle que fait le plan de celte section avec le plan osculateur de la première courbe. Or la courbe dont les normales principales sont les génératrices de la surface a, d’après ce qui précède, son plan osculateur tangent à la surface, et le cosinus de l’angle formé par ce plan avec celui de la section normale correspondante est, par suite, égal à zéro. Il faut, par conséquent, pour que le produit ne soit pas nul, que l’antre facteur, c’est-à-dire le rayon de la section normale, soit infini.

En chaque point de la courbe dont tes normales principales sont

les génératrices d’une surface gauche, les rayons fie courbure de In surface sont égaux et de signes contraires.

La .somme des courbures principales d'uue surface quelconque est égale , en effet, à la somme des courbures de deux sections normales faites, en un même point, perpendiculairement l’une à l’autre. Or. d'après ce qui précédé, si l’on fait, en chaque point de la courbe considérée, deux sections normales, l’une suivant la génératrice, l’autre normalement à la génératrice, ces deux sections (dont la première est une ligne droite) ont l’iine et l’autre une courbure nulle; la somme de ces deux courbures, et , par suite, ta somme des cour bures de la surface est donc égale à zéro.

Le dernier des théorèmes démontrés dans le paragraphe précédent permet de décider si une surface réglée peut être considérée connue le lieu des normales principales d'une courbe. Il faut, en effet, pour cela, qu'il existe sur la surface donnée une série de points pour lesquels les rayons de courbure soient égaux et de sens contraire, et que , de plus , ces points forment une courbe normale aux génératrices. On peut voir facilement que cette condition nécessaire est en même temps suffisante. Si, en effet, elle est remplie, la section normale à la surface faite perpendiculairement à la génératrice en chacun des points de la courbe considérée , doit avoir un rayon de courbure infini. Il faut donc que le plan osculateur de cette ligne soit tangent à la surface; car, sans cela , le cosinus de l’angle qu’il forme avec le plan normal de la surface n’étant pas nul, le rayon de courbure de la courbe devrait aussi être infini, ce qui , évidemment, ne peut avoir lien qu’en des points particuliers. Nous sommes donc conduits à nous proposer ce premier problème :

Quels sont les points sur une suif ace gauche pour lesi/uels la somme des rayons de courbure de la surface est égale à zéro?

Considérons une surface gauche représentée par les deux équations ix = z?(oc) - h «,

et, sur cette surface, nue génératrice que. pour plus de simplicité, nous supposerons confondue avec l’axe des z. Admettons, en outre, pour simplifier les calculs, que l’on ait pris pour origine le point de cette génératrice le plus rapproché de la génératrice infiniment voisine, et que le plan des ZX soit tangent à la surface à l’origine; on aura évidemment alors

Cherchons les points de l’axe des z pour lesquels la somme des courbures principales est nulle. Ces points sont ceux pour lesquels la courbure de la section parallèle au plan des XY est infinie. I! faut donc, pour les déterminer, écrire «pie la courbe représentée par les deux équations

v iS=zf( «> + «,

i x = zij» («) ■+• F (a),

dans lesquelles on regarde z comme une constante , a un rayon de courbure infini pour a = o. Il faut et il suffit [jour cela que l’on ait pour cette valeur de a,

(4) dx d*j — djr d* z— o.

Or on déduit immédiatement des équations (3),

... I dx = [zç'(a)+ i]da. dj = [z.J/'(a)-H F':a)]r/a,

° j d*x = zÿ{a.)da}, rf’/ = [zi|i'(«)+ F'(a)](/«’.

et l’équation (4) devient, en ayant égard aux conditions (a),

Cette équation est du second degré. Il y a donc, sur chaque génératrice, deux poiuts , au plus, pour lesquels les rayons de courbure sont égaux et de signes contraires. Le lieu des points qui, sur la surface, jouissent de cette propriété est donc composé de deux courbes distinctes qui peuvent se confondre ou disparaître si les racines sont égales ou imaginaires. Si l’équation (6) est satisfaite identiquement, tous les points de la génératrice satisfont à la condition demandée.

Avant d'aller plus loin, nous exprimerons les coefficients de l’équation (6) en fonction des éléments qui pourraient servir de définition à la surface gauche.

Remarquons d’abord qu’en faisant z = o dans les équations (t), on obtient

d’où l’on déduit

(7) jr = F(x),

pour équation de la section faite dans la surface par le plan des XY. Si l’on remarque que F'(o) = o, on voit que E"(o) est la courbure de cette section, et, par suite, la somme des courbures de la surface gauche au point de la génératrice le plus rapproché «le la génératrice voisine, c’est-à-dire au point où l’axe des z perce la ligne que les géomètres appellent quelquefois ligne fie striction tie In surface.

Si nous désignons œtle somme par ~ -t- nous aurons

la génératrice infiniment voisine de l’axe des z a pour équations, si l'on a égard aux conditions (a),

x = da,

X — zÿ[<z)rla.

Sa plus courte distance à l’axe des z est il a, l'angle qu’elle fait avec cet axe est <|/(o)rfa; en sorte que <(>'(0) est le rapport de l’angle de deux génératrices infiniment voisines à leur plus courte distance. Mais on démontre facilement que ce rapport est l’inverse de la racine carrée du produit des rayons de courbure principaux de la surface à l’origine des coordonnées; on a donc