Tome XV . — SüFTtmm i85o

et il vient par suite, en négligeant les infiniment petits du second

ordre, et pour la valeur da attribuée à a ,

— i [4»,(o)*+a't,(o)i*(p)rf«r .

R, R, [Wo)-!- +*»</«]’

et si nous retranchons de cette expression <J/(o)’, et que nous divisions par du , nous obtiendrons sans difficulté

--Sir = ^'(°)f(°)î

on en conclut, en remplaçant ÿfo) par

,'ïT

Si, enfin, nous nommons 9 l’angle de la ligne de striction avec la plus courte distance do. de deux génératrices consécutives, et ds l’arc de cette ligne de striction compris entre les génératrices considérées , on aura

da = ds cos 9 ,

et, par suite, l’équation (10) équivaut à

2 cos f ds

V— B. fi-

ll nous reste à calculer 9" (o). Pour cela, nous chercherons à déterminer l’angle que nous venons de désigner par 9 et que forme la ligne de striction avec la plus courte distance des deux génératrices. Pour y parvenir, remarquons que la ligne de striction coupe la génératrice qui se confond avec l’axe des 2, à l’origine même des coordonnées. Si donc nous cherchons l’ordonnée du point où elle rencontre la génératrice infiniment voisine, le rapport de cette ordonnée à la plus courte distance da sera la tangente de l’angle 9.

Cherchons donc le point où une génératrice quelconque

x = zf («) 4- a, y = z |(a) -t- F (a).

est coupée par la ligne de striction , c’est-à-dire l’extrémité de sa plus courte distance à la génératrice infiniment voisine,

x — z f (a) -+- a -t- Zf' (a) da -+- da ,

7 = î<j«(a) -+- F (a) -t- zi(i'(a)rfa -+- F '(a)da.

Or, en clierchant le point où la plus courte distance de ces droites perce la première, on trouve, en employant les formules connues de la géométrie analytique à trois dimensions,

C’est cette valeur de z qu’il faut diviser par da, après y avoir supposé à a la valeur infiniment petite da. Or, en ayant égard aux équations (a), et procédant comme nous l’avons fait plus haut, on trouve

lim -f = tang o = M^io)

d’où l’on déduit

( ?'(«>) = — f(o)Jtangy — f(o) P'(o)

\ R, R, ‘“B* vCrI (». ^ *J'

En substituant dans l’équation (fi) les valeurs fournies par les formules^), (y), (i i), (i a) pour ses différents coefficients, elle devient

Si l’on suppose tang f = o, c'est-à-dire si la ligne de striction coupe à angle droit les génératrices, l’équation devient

En portant sur chaque génératrice, à partir de la ligue de striction,

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une longueur égale à l’une des racines de cette équation, on obtiendra la ligne en tous les points de laquelle les courbures de la surface sont égales et de signes contraires. Pour que cette ligne coupe à angle droit les génératrices, il faut, dans le cas où l'angle <p est nul, que la valeur de z soit constante. Si l’on veut qu’il existe sur la surface deux courbes dont les rayons de courbure coïncident avec les génératrices, il faut que les deux racines de l’équation (ié|) soient constantes, et , par suite, il doit en être de même de leur produit qui, évidemment, est