I RR
mais alors — ~ est nul, et l’équation devient
Or cette équation est impossible , car, dans une surface gaucbe, K, R, est négatif et les racines sont, par conséquent, imaginaires. Nous avons donc ce résultat :
Jl est impossible qu'une sur/ace dont In ligne de striction coupe à angle droit les génératrices , c’est-à-dire la surjace Jormée par les normales aux plans oscillateurs d’une courbe , contienne deux lignes distinctes dont les génératrices soient les normales principales.
La formule (t3) peut aussi servir à la démonstration d’un théorème connu :
L'héliçoide à plan directeur est la seule surjace réglée dont les rayons de courbure en chaque point soient égaux et de signes contraires.
Pour qu’une surface jouisse, en eflét, de cette propriété, il faut que l’équation (i3) soit satisfaite pour toutes les génératrices, quelle que soit la valeur de *. On doit donc avoir, aux différents points de la ligne de striction,
o»< iis
L’équation (i fi) exige que tang ç soit égal à zéro ou K, R, = ao 5 mais celle dernière hypothèse n’est pas admissible, car il faudrait pour cela, d’apres l'équation (i5), que R, et R, lussent l’un et l'autre infinis en chaque point et la surface se réduirait à un plan. Il faut donc supposer <f = o, et, par suite, la ligne de striction coupe les génératrices à angle droit; mais alors +■ ~ désigne, comme on s'en as-
sure facilement, la courbure de celte ligne de striction, et puisque cette somme est nulle en vertu de l’équation (t5), la ligne de striction est droite, et, par suite, les génératrices de la surface coupent toutes une même droite à laquelle elles sont perpendiculaires.
D'ailleurs l’équation (17) exige que R, R, soit constant et que, par suite, il existe un rapport constant entre l'angle de deux génératrices infiniment voisines et leur plus courte distance. I-es plus courtes distances étant ici toutes comptées sur la même droite et l’angle de deux génératrices quelconques étant la somme des angles formés par deux génératrices intermédiaires, on en conclut qu’il existe un rapport constant entre la distance de deux génératrices quelconques et l'angle qu’elles font entre elles, et que la surface est un béliçoïde.
Une surface gauche étant définie par sa ligne de striction et l'angle que cette ligne forme en chaque point avec la génératrice, l’équation ( 1 4 ) obtenue plus haut permettra île trouver, dans chaque cas, le lieu des points pour lesquels la somme des courbures est égale à zéro. Pour savoir s’il existe sur la surface une ligne dont les génératrices soient normales principales , il suffira de chercher si cette courbe coupe à angle droit les génératrices, ce qui se fera facilement dans chaque cas particulier.
Il peut arriver que, pour trouver le lieu des points pour lesquels la somme des courbures est nulle, il soit plus simple de ne pas recourir aux formules du paragraphe précédent; nous en donnerons un exemple en résolvant le problème suivant :
Est-il possible que les rayons de courbure d'une ligne Jorment une surface gauche du second degré?
Considérons la surface qui a pour équation
et cherchons s'il est possible de tracer sur elle une courbe qui ait ses génératrices pournormales principales. Cette courbe, si elle existe , est , comme nous l’avons vu, le lieu des points pour lesquels la somme des courbures principales est égale à zéro. Or on sait qu en chacun de ces |>oints il passe deux génératrices rectilignes. La section normale , conduite suivant une d’elles, ayant une courbure nulle, il doit en être de même de la section perpendiculaire qui, par suite, doit être aussi rectiligne. lies points en question sont donc ceux où deux génératrices rectilignes se coupent à angle droit. Or de pareils points peuvent être considérés comme les sommets d’angles triedres circonscrits à la surface; et, en effet , nous avons trois plans tangents perpendiculaires deux à deux qui ont ce point pour intersection commune, savoir, le plan de deux génératrices et les plans perpendiculaires à celui-la menés par chacune d’elles, lesquels touchent nécessairement la surface, puisqu’ils contiennent une génératrice. Or on sait que le lieu des sommets d’un triédre trirectangle circonscrit à une surface du second ordre est une sphere qui, dans le cas actuel, a pour équation
-T> + y* z1 = as -t- b1 — c*.
i.a courbe cherchée est l’intersection de cette sphère avec l’hyperholoide. Mais cette courbe ne peut pas couper les génératrices a angle droit; pour qu’elle fut, en effet, perpendiculaire à l’une des génératrices qui se croisent en chacun de ses points, il faudrait qu’elle hit tangente à l’autre, et l’hyperboloïde n’étant pas une surface développable, ses génératrices ne jieuvent être tangentes à une meme cour la*.
Ainsi donc, les rayons de courbure d'une ligne courbe ne peuvent jamais Jnrmer un hj-perboloïde.
Pour répondre complètement a la question énoncée, il nous reste a examiner si les normales principales d’une courbe peuvent former un paraboloïde. Nous traiterons pour cela une question plus generale.
Quelles sont les courbes dont les normales principales sont parallèles à un même plan ?
PURES ET APPLIQUEES. V,3
Si nous considérons une courbe qui satisfasse à la condition énoncée et que, par les différents points, nous abaissions des perpendiculaires sur le plan auquel les rayons de courbure sont parallèles, nous formerons une surface cylindrique Ù laquelle les rayons de courbure de la courbe donnée seront normaux. Cette courbe est donc une ligne géodésique tracée sur le cylindre, ou , en d’autres ternies , une hélice. On s’assurera facilement que les rayons de courbure d'une hélice ne forment, dans aucun cas, un paraboloide.
Nous allons chercher enfin quelles sont les surfaces réglées dont les génératrices sont les normales principales de deux courbes distinctes. Nous déterminerons, pour cela, les courbes dont les rayons de courbure peuvent coïncider, en direction, avec ceux d’une autre courbe, ou, d'apres ce qui précède, les courbes telles, qu’il existe sur la surface gauche lieu de leurs rayons de courbure, uue seconde ligne coupant ces rayons à angle droit, et en tous les points de laquelle la somme îles courbures de la surface soit égale à zéro. Pour y parvenir, nous chercherons quelle longueur on doit porter sur chaque rayon de courbure pour obtenir un point pour lequel la somme des courbures de la surface soit nulle; nous exprimerons ensuite que celte longueur est constante.
Considérons une courbe représentée par les trois équations
entre l’arc s et les coordonnées orthogonales d’un [point. Supposons que l’on ait pris pour axe des z le rayon de courbure correspondant à s = o, et , pour plan des ZX , le plan osculateur en ce point , en sorte que l’on ait, pour s = o.
Cherchons la condition pour que l'origine des coordonnées soit précisément le point où la surface gauche lieu des rayons de courbure, a ses
rayons de courbure égaux et de signes contraires. Il faut pour cela que la section faite dans cette surface |»ar le plan des XY ait un rayon de courbure infini , et, par suite, que la distance de cette section à sa tangente soit un infiniment petit du troisième ordre. Nous chercherons donc les deux coordonnées infiniment petites x et y du point de cette courbe qui correspond à une valeur infiniment petite ds attribuée à
l'arc s, et nous écrirons que le rapport'^ ne différé de sa limite pour
ds = o, que d’un infiniment petit du second ordre. Les cosinus des angles formés par un rayon de courbure avec les axes des coordonnées, sont proportionnels à Pour le point qui correspond
à une valeur infiniment petite ds de l’arc s, et en vertu des hypotheses exprimées par les équations (A), les trois coefficients différentiels peuvent etre remplacés par
ds + ^^,
fis * a
l rf5* , ri* z ds *
les coordonnées des points de la courbe sont d’ailleurs, en vertu des mêmes hypothèses, et en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au second ,
ds , o, a ,
eu sorte que les équations de la normale principale sont
x — dx y z — a
C'est dans ces équations que nous devons supposer z = o, pour calculer les valeurs correspondantes de x et d ejr, qui sont
PURES ET APPLIQUÉES, et il faut exprimer que le rapport
t d'y . d‘r ds'\
ne diffère de sa limite
que d’1111 infiniment petit du second ordre.
Or, en prenant la différence de ces deux expressions et égalant à zéro le coefficient fis, on trouve
a* { d*y\ fdlx\ a / d*y\ a1(d*x\ /diz\ / dly\
et l’on en déduit
i/£rt /*if\ iVî!lf\
2 V \ 2 \ fte /. \ «&1 /.
Nous allons exprimer maintenant les coefficients différentiels qui entrent dans le second membre, en fonction de deux rayons de courbure de la courbe considérée, et de leurs dérivées.
On a, pour un point quelconque,
En différenliant cette équation par rapport à j, il vient
i dp d*xd*x d'y d^y dlzd*z
p* ds fis'4 dt ds' ds' "* ds‘ du*
et si l’on suppose s = o, il vient, en vertu de l’équation (b).
On a d’ailleurs identiquement
dxd'x dy d'y dsd'z
ds ds* ds ds * ds ds 7
Ttrtutt XV. — St Pt* n tu» i8.*o. 44
On en déduit, par la différentiation ,
.. (d'xy /rf'r\’ , /«/’*Y dxd‘* dfd'y ds d‘t
J * \ ( ds ’ ) 1 </j' / ds ds* ds ds 1 ds ds
et, en faisant dans cette dernière équation j = o, il vient
F.n différentiant l’équation (J) par rapport à J, on obtient la suivante :
rfJX d*X di1 dss
•\d2y d*y «</’* rf1:
* ~d? rfT * rf?* rf^
rf.r rf’-r rfj rff‘
rfy rf‘jr rfx rf's f/x rf*4 ^ rfï rfj*
et, en faisant ^ = o, il vient
P ds* ds* ^ *
d’où Ton déduit, en ayant égard à l’équation (g),
Pour déterminer les autres coefficients différentiels qui figuren' dans l’expression de la longueur a, considérons l’expression de la seconde courbure de la ligne considérée. On a, en désignant par K le rayon de seconde courbure,
dyid'zd'x d'xd*&\ ds \ ds 1 ds' ds3 ds 1 f
-Si
t d'x d'y d'y d%x\ tir ,
^ ds' ds' ds ' rfr / rf.T ’
l d'y d'à d'z d* y \ l, ds1 ds* ds 1 ds • j /
Jdyd'z dzd'y\
\ÏÏI ~dF ~ ds~dF j
/ tix d 1 z dsd'x\
\rfj ds- ds ds * )
* dy d*x dxd'y\' Kds ds2 ds dt 1 -
Si l’on fait dans cette équation s = o, il vient
Si nous différentions enfin la valeur de ^ par rapport à s, et que,
dans le résultat , nous supposions s = o, il viendra facilement
et l’on en déduit, en ayant égard aux équations précédentes,
En substituant dans les valeurs de {a) les expressions des coefficients différentiels qui y figurent et qui sont données par les équations (e), il vient
i rf R
R* p* di
a ~ 1 i df’
RV ds R p' ds
ou, en chassant le dénominateur, et supprimant les facteurs communs,
/ a i \ f/R a dp
\Rp R / ds p* iis
On en déduit
dp a p — ps
<7r ~ Ra ’
OU
dp I //R
pi° p) a h
et, en intégrant,
Cp = «CR - pCR, ou, enfin, en divisant par p R ,
Telle est la relation fort simple qui doit exister entre les deux rayons de courbure d’une courbe pour que les normales principales soient en même temps normales principales d’une autre courbe. Si l’on suppose la constante arbitraire C. égale à zéro, il vient
Les courbes dont le rayon de courbure est constant satisfont donc à la condition générale, et la longueur qu’il faut porter sur les rayons de courbure pour obtenir la seconde courbe dont ils sont aussi les normales principales , est précisément égale it ce rayon de courbure constant, en sorte que la seconde courbe est le lieu des centres de la courbure de première. Cette dernière proposition a déjà été remarquée par M. Bouquet.
indépendamment de la relation
qui a lieu entre les deux courbures de l’une des courbes dont les normales principales sont aussi normales principales d’une autre courbe, on peut en obtenir deux autres qui permettent d’exprimer les deux rayons de courbure de l’une des deux courbes en fonction de ceux de l'autre.
Nommons, en effet, ds, , p,, R, l’arc infiniment petit AB de l’une
PURES ET APPLIQUEES. 34ç,
de nos courbes et les deux rayons de courbure. Soient dst , p,, R,, l'arc correspondant A'B' de la seconde courbe et ses deux rayons de courbure; désignons enfin par a la distance constante qui sépare les points correspondants des deux courbes.
Si BO est la direction du rayon de courbure en B, O le centre de courbure, AI la direction du rayon de courbure en A, l’angle A'AO, que forme AA' avec le plan oscillateur OBA , est précisément l’angle de deux plans oscillateurs consécutifs de la courbe AB; il est égal à
L’angle AOB est l’angle de contingence égal à — •
Or, eu désignant par x l’arc B' K décrit du point O comme centre, et compris entre OB et OA , on a
ds, : x :: p, : p, — a.
Mais, dans le triangle rectangle A' K B',
a-* = A'B'* - A'K = ds, - a‘ :
d’où
Ou aurait de meme
ds, JC a’ I ' ds,\*
ds, p, + «Y 1 RJ \dst)
D'ailleurs, si l’on nomme G l’angle de deux rayonsjjde courbure infiniment voisins, il est facile de voir que l'on a
s'='<Jr *)=*!(*
d’où l’on conclut
35o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
et, par suite, les liquations précédentes deviennent
Telles sont les deux équations qui permettent de calcu 1er p, et R, en fonction de p, et R2.
Dans le cas particulier où p, est constant et égal à a, les équations deviennent
et l'on en déduit sans peine,
pt— — a.
!lrii
Addition nu Mémoire sur quelques transmutations des lignes courbes, inséré dans le volume précédent [ * | ;
Pu M A. CAYLEY
Je me propose de résumer ici la théorie des courbes du quatrième ordre , auxquelles donne lieu la première de mes méthodes de transmutation appliquée à une conique quelconque.
L’équation d’une telle courbe est de la forme
ax -+- bj\ -t- ci -h i J \jz -t- a g y zx -h -i h y xj — o ,
et nous avons déjà vu que cette courbe a pour tangentes doubles les trois droites jr = o, j = ot z — «» (droites que nous avons représentées par QR , RP, PQ). Pour trouver les autres propriétés de la courbe, mettons l’équation sous la forme
Puis, en écrivant, pour plus de simplicité,'^, au lieu de x,
jr, z, cette équation devient
(fr-,)-r + 0ï“,)*+*vî+ v7 + vï)’=*o;
et de là , en mettant
l’équation de la courbe prend cette forme très-simple \x -t- \ f -t- \z + y tv = o,
[*J Voir le tome XIV , page 4o.
JOURNAL DE MATHÉMATIQUES en se souvenant toujours que les quantités x, y, z, w satisfont à l’équation linéaire qui vient d’être donnée. Je représenterai dans la suite cette équation linéaire par
ax -+■ (iy 4- y z 4- ehv = o.
Il est évident que la droite tv = o, de même que les droites QR, RP, 1*Q> est tangente double de la courbe. De plus, ces quatre droites sont le système complet des tangentes doubles, car la courbe a, comme nous allons le voir, trois points doubles. En eflet, la forme rationnelle de l'équation est
( x * 4- y* ■+■ z* -t- tv* — ?yz — a zx — a xy — a xtv — a yiv — a ztv)’
— 64 xyz tv — o ,
et , au moyen de l'identité
(x -t- y)* ( z -t- tv)’ — 1 6 xyzw
= [x —y)’ (z 4-.M»)* 4- (x 4- y)* (z — tv)’ — ' x — y-y (z — tv’, cette équation rationnelle se transforme en
[(* —jf - (2 - w)']*
— 4 (x 4- y — ; — iv) [(x ->-y) (: — tv)’ — (* 4- tv) (x — .r)’] = °.
laquelle fait voir que le point [x — y , z — tv) est un point double; de là aussi les points {x = z, tv =y), (x = tv, y = z) sont des points doubles. Remarquons en passant qu’en supposant que les coefficients a, |3, y, J restent indéterminés, les droites x =y, x = z, x = tv seront des droites quelconques par les points (x = o, y = o), (x = o, z = o), (x = o, tv = o) respectivement, et ces droites une fois connues, les droites y — z , z = tv, tv = y seront déterminées , la première au moyen des points (y = o, z = o), [y = x, z = x), la deuxième au moyen des points (z = o, tv = o), (z = x, w s= x), et la troisième au moyen des points (tv = o,y — o), (tv = x, y = x); et les trois droites ainsi déterminées se couperont nécessairement en un même point. Cela revient au théorème suivant :
« Les trois points doubles d’une courbe du quatrième ordre avec » trois points doubles sont les centres d'un quadrangle dont les côtés
» passent par les angles du quadrilatère fourni par les tangentes » doubles de la courbe. »
Cette propriété des courbes du quatrième ordre dont il s'agit (je veux dire celle d’avoir trois points doubles) aurait dû laire partie du théorème général donné auparavant pour cette première méthode de transmutation.
En supposant que la conique à transmuter passe par le point P, on aura
et il suit de la que le point double (jr = iv,jr = i*>), identique dans ce cas avec le point P, se change en point de rebroussement, et en même temps les droites PQ, PR ne sont plus des tangentes doubles proprement dites, mais ces droites sont des tangentes simples qui passent par le point de rebroussement. Ajoutons que la tangente dans le point de rebroussement est la droite x — w.
En supposant que la conique à transmuter passe à la fois par les deux points P, Q, nous aurons
Ici les deux points doubles [x = iv, jr = z) , [jr = w, x = i), identiques dans ce cas avec les points P, Q, deviennent des points de rebroussement, les droites QR , RP, PQ ne sont plus des tangentes doubles proprement dites, mais les droites RP, PQ sont les tangentes simples qui passent par les points de rebroussement respectivement, et la droite PQ est la droite menée par les deux points de rebroussement. Ajoutons que les tangentes dans les deux points de rebroussement respectivement, sont les droites x = u- et jr = w.
On sait qu’un cercle quelconque peut s’envisager comme conique qui passe par deux points fixes, savoir, les points où l’infini, considéré comme droite, est rencontré par les deux droites imaginaire.-, auxquelles se réduit un cercle évanouissant quelconque. En nommant ces droites les axes imaginaires de leur point d’intersection, prénom pour les droites PQ , PR les axes imaginaires d’un point quelconque P, et pour la droite QR l’infini. Cela étant, un cercle quelconque sera transmuté dans une courbe du quatrième ordre ayant deux points de
