hOjO'jO „ , ^30... --0,o/j

-^ 1 3o... ~t-o,iio "^ / i/io... -o,35o

(Jo. . .

-hO,Iy5

(*) Rappelons encore que, par une exception singulière, les dissolutions très concentrées de chlorure de zinc présentent des valeurs de a qui décroissent quand la densité de la dissolution croît {Journal de Physique^ t. IX, p. 3i5), de telle sorte que le point neutre des températures correspond à une intensité de courant plus faible pour une dissolution de chlorure de zinc de densité 1,98 que pour une dissolution de densité 1,716. Pour une même intensité de courant, inférieure au point neutre des deux dissolutions, on observe un refroidissement moins intense dans la dissolution la plus concentrée. On trouve, dans les mêmes conditions, une décompression moindre; par exemple, pour P — o"»*^, \^o et pour 0^, i!\ de zinc déposé par centimètre carré, on a :

Ddotité de la solalion. Décompression

o 1,98 — o,li3

mole ( 1 )

CONTRACTION DBS DÉPOTS GALVANIQUES. a5i

produit une variation analogue des constantes a' et b\ Une relation aussi étroite ne saurait être méconnue. Voici Tinterprétation que je propose d'en donner.

Le thermomètre indique la température moyenne du liquide dans une petite étendue autour de son réservoir; cette température n'est pas nécessairement celle du métal qui se dépose. On doit, en effet, considérer que l'eau pure n'est pas conductrice; que le courant se propage à peu près exclusivement par les molécules de l'électrolyte dissous; que, par suite, la chaleur dégagée dans le liquide en vertu de sa résistance ou absorbée par suite du phénomène de Peltier est dégagée ou absorbée dans les molécules de Télectrolyte, qui font ultérieurement échange de chaleur avec les molécules inertes du dissolvant. Aux points où le courant dégage de la chaleur, la température de l'électrolyte est donc toujours supérieure à celle du liquide ambiant; aux points où il en absorbe, la température de l'électrolyte est plus basse (*).

Supposons qu'on se trouve dans le premier cas; le métal, à rinslant où il se dépose, est plus chaud que le liquide et, par conséquent, possède une température supérieure à la moyenne indiquée par le thermomètre; aussitôt déposé, il se refroidit à cette température moyenne, et par suite se contracte : le dépôt est comprimant. C'est l'inverse qui se produit quand le métal est plus froid que le liquide : le dépôt est alors dilatant.

Si cette manière de voir est exacte, le point neutre V de la compression correspond au cas où le métal et le liquide ont la même

(') Une comparaison permettra de donner plus de relief h cette proposition. Suppoions qu'an courant se propage dans un paquet de fils métalliques parallèles noyés dtns de la gutta-percha, où se trouve également noyé le réservoir d'un thermomètre. Quand on fait passer le courant dans les fils, ils s'échauffent, et leur température est à chaque instant supérieure à celle de la gutta environnante et à la moyenne indiquée par le thermomètre. Si tous les fils présentaient une soudure thermo-électrique au voisinage da point où se trouve placé le thermomètre, et si le courant pas- ^it dans un sens tel que le phénomène de Peltier agit pour refroidir les soudures, les soudures s'échaufferaient pour de fortes intensités du courant, se refroidiraient pour des intensités plus faihles, et dans ce dernier cas leur température descendrait audessous de celle de la gutta-percha environnante et serait inférieure à la moyenne indiquée par le thermomètre.

a5a E. BOUTY. - CONTRACTION DES DÉPOTS GALVANIQUES.

température , et Ton s^attendrait peut-être à ce que ce point neutre coïncidât avec celui I des températures (* ). L'expérience établit pourtant, et de la manière la plus nette, qu'il n'en est pas ainsi. Le sulfate de cuivre donne des dépôts comprimants sur un thermomètre qui se refroidit d'une manière non douteuse; le chlorure de zinc de densité 1,98 donne des dépôts dilatants sur un thermomètre qui peut s'échauffer beaucoup. Il n'y a donc pas proportionnalité entre réchauffement du thermomètre et l'excès de température du métal qui se dépose.

Mais on doit considérer que la température des molécules métalliques, à l'instant du dépôt, ne dépend que de la chaleur évoluée par le courant dans une couche d'épaisseur moléculaire (et par conséquent infiniment petite) autour du réservoir du thermomètre, tandis que la température de celui-ci dépend de la chaleur produite dans une couche d'épaisseur finie ; que d'ailleurs il peut exister au sein du liquide, mais en dehors des molécules métalliques qui se déposent, des sources de chaleur ou de froid (actions chimiques secondaires, diffusion de l'électrolyte dans le dissolvant, etc.) qui impressionnent le thermomètre sans modifier sensiblement la chute de température du métal à l'instant du dépôt (^). Les excès E et les contractions A ne doivent donc être comparables que d'une manière approximative et générale : cei deux quantités varient d'après des lois analogues, mais qui ne sauraient être identiques.

C) Ce qui exigerait que l'on eût - = • •

(') La chute de température que nous invoquons doit être égale à l'élévation de température qu'il faut communiquer au thermomètre métallisé pour faire cesser la compression, c'est-à-dire pour que son indication devienne identique à celle d*un thermomètre nu. J'ai établi ailleurs {Journal de Physique, t. VIII, p. 299) que cette élévation de température peut quelquefois atteindre une quarantaine et même une centaine de degrés. Ce dernier chiffre doit être considéré comme un maximum.

A. CROVA. - PROJECTION DES FIGURES DE LISSAJOUS. 253

FBOJECTIOV DBS nftUBES DE U88AJ0U8 AVEC DES DIFFÉBENGES DE PHASE VABIABLE8 A VOLOHTÉ;

Par m. A. CROVA.

Lorsqu'on approche un puissant aimant des extrémités d'un diapason vibrant, la force attractive ainsi développée augmente la période de vibration comme le ferait un poids supplémentaire fixé à ses branches. La distance de Taimant augmentant, la perturbation diminue, et Ton peut ainsi faire varier à volonté, dans des limites très restreintes, la période de vibration. Si l'aimant est trop rapproché, l'amplitude diminue et le diapason s'arrête rapidement. C'est là un cas intéressant, etque je crois nouveau, de l'étude des vibrations forcées.

En se basant sur ce principe, il est très facile de projeter les figures de Lissajous correspondant à un intervalle quelconque et de les rendre à volonté mobiles ou fixes sans toucher aux diapasons ; on peut ainsi les amener par une déformation lente à une forme quelconque et les fixer alors aussi longtemps qu'on le désirera, ce qui est très utile pendant une démonstration.

Dans ce but, je me sers des électro-diapasons de M. Mercadier('), montés sur le support universel de M. A. Duboscq(2),qui permettent de projeter des figures de grandes dimensions et d'une manière très commode. M. Mercadier a donné dans ce Recueil la ihéorie de ces appareils (^) et leur application à la détermination des éléments d'un mouvement vibratoire.

Pour faire varier à volonté la période de vibration d'un diapason dans des limites très restreintes, je fais usage d'un électro-aimant supplémentaire, placé entre les extrémités des branches du diapason et mobile au mo}'en d'une vis dans une direction perpendiculaire au plan de ses deux branches, que M. Mercadier a fait adapter à Tundeses diapasons; il est ainsi facile de faire varier à volonté sa

{') Mercadier, Électro-diapasons {Journal de Physique, t. II, p. 35o).

(') A. DcBOftCO, Support universel d'électro^iapasons {Journal de Physique, t. VIII, p. 60).

(') Mebcadier, Amplitude des diapasons, etc. {Journal de Physique, t. IX, p. 4'î Éléments d'un mouvement 'vibratoire {Journal de Physique, t. IX, p. 217 et aSa).

a54 A. CROVA.

position, et par suite Tattraction exercée par cet électro-aimant supplémentaire, que j'adapte au diapason qui donne le son fondamental.

Voici la disposition des expériences.

Le premier diapason, celui qui donne le son fondamental, est muni, vers le milieu de sa longueur, d'une bobine fixe qui reçoit le courant intermittent provenant du sljle interrupteur et qui entretient les vibrations. Il porte vers son extrémité la bobine mobile qui peut recevoir, au moyen d'une clef de Morse, un courant permanent fourni par une pile séparée (2 éléments de Bunsen suffisent largement).

Le second diapason ne porte que la bobine qui entretient ses vibrations.

Projetons l'ellipse de l'unisson après avoir légèrement déplacé vers la base du diapason le support du style interrupteur, de manière à rendre la vibration du premier diapason un peu plus rapide que celle du second.

Nous verrons l'ellipse se déformer lentement dans le sens direct; mais, si nous lançons le courant permanent dans la bobine supplémentaire, nous verrons la déformation se ralentir, s'arrêter ou se produire en sens inverse , selon la position que nous donnerons à cette bobine ; pour une certaine position, la figure sera immobile.

Cessant d'appuye^r sur la clef de Morse, la figure se déformera lentement, et, en appuyant de nouveau, nous l'immobiliserons dans telle phase qu'il nous plaira.

Ces expériences sont très faciles à faire et rendent de grands services pour la démonstration.

C'est surtout pour les intervalles d'octave, de quinte d'octave, (le quarte et de quinte que cette méthode est utile; il est souvent difficile d'immobiliser ces figures compliquées ; l'emploi de l'électroaimant permanent m'a permis d'arriver d'emblée à immobiliser la figure de tierce majeure, qui est très compliquée, et de la fixer invariablement à une phase quelconque.

On peut aussi démontrer l'influence de l'amplitude sur la période de vibration.

Pour cela, le premier électro-diapason exécutant des vibrations d'amplitude considérable et étant rigoureusement accordé au

PROJECTION DES FIGURES DE LISSAJOUS. aSS

moyen de rélectro-aimant permanent sur le second, on obtient une figure fixe inscrite dans un carré si les amplitudes sont égales. Après avoir amorti le second, on le met de nouveau en vibration en rétablissant Tin lerrupteur; Tamplitude croît et finit par atteindre sa valeur primitive. On voit alors la figure, très aplatie au début, se déformer de plus en plus lentement, en passant par les figures caractéristiques des différences successives de phase, et se fixer quand les amplitudes sont devenues à peu près égales.

On peut faire des expériences analogues sur la composition parallèle.

Les deux diapasons étant à Tunisson, on projette sur l'écran le trait fixe résultant. Si Ton actionne Télectro-aimant permanent, on voit le trait se contracter et se dilater alternativement, en même temps que Toreille entend les battements synchrones. On ralentit ou Ton accélère les battements en déplaçant l'électro-aimant permanent; on les supprime et on fixe le trait en interrompant le courant.

Enfin, on peut faire une série d'expériences très instructives en actionnant les deux électro-diapasons par le même courant. Il faut, pour cela, employer comme interrupteur le diapason le plus grave, et serrer l'interrupteur du second, de manière à rendre le contact permanent. Le premier diapason excitera le second, pourvu que le nombre de vibrations du second soit un multiple entier du nombre de vibrations du premier. Si les diapasons sont bien accordés (dans ce but l'électro-aimant permanent peut être utilisé), dès que le premier diapason vibre, le second se met à vibrer spontanément, et Ton obtient une figure fixe.

Cas de V unisson. — L'accord étant rigoureux sous des amplitudes égales et assez grandes, on amortit avec la main le second diapason, et la figure se réduit à une ligne droite; abandonnant ce diapason à lui-même, il entre spontanément en vibration; la figure, très aplatie au commencement, est une ellipse à deux axes rectangulaires, correspondant aune différence de phase égale à -; mais, à

mesure que l'amplitude augmente, l'ellipse se déforme en s'inclinant et se rapproche d'autant plus de la droite inclinée correspondant à une différence de phase nulle que l'accord est plus rigoureux.

256 A. CROVA. - PROJECTION DES FIGURES DE LISSAJODS.

Si les diapasons ne sont pas d'accord exactement, le premier vibrant fortement et le second, préalablement amorti, étant abandonné à lui-même, on obtient, comme précédemment, Tellipse très aplatie au début; mais, le temps croissant, l'ellipse se déforme et oscille en s'inclinant dans deux sens alternativement contraires. Si le désaccord est trop fort, le second ne \dbre pas; si, au contraire, il est presque insensible, la figure partant de l'ellipse très aplatie à deux axes rectangulaires, correspondant à une différence de phase

-> s'agrandit en se déformant lentement et finit par prendre la

forme d'une ellipse inclinée qui se rapproche d'autant plus de la droite inclinée correspondant à une différence de phase nulle que l'accord est plus près d'être absolu.

Cas de Voctas^e, — Le diapason excitateur étant toujours celui du son fondamental et sa vibration étant très forte, on abandonne le second à lui-même. Celui-ci entre immédiatement en vibration et donne la courbe en forme de 8, très aplatie au début, qui correspond à une différence de phase initiale égale à -• La figure se renfle

peu à peu en se déformant et finit, si l'accord d'octave est rigoureux, par se fixer à la forme paraboloïde, qui correspond à une différence de phase nulle.

Si l'accord n'est pas absolument rigoureux, on obtient au début la courbe en forme de 8 très aplati ; la figure s'agi'andit peu à peu en se déformant et finit par prendre une forme invariable, qui se rapproche d'autant plus de la forme paraboloïde ci-dessus que l'accord est plus près d'être rigoureux.

Ces expériences sont facilitées par l'emploi de l'électro-airnanl permanent, qui permet de faire varier à volonté la période de vibration sans arrêter les diapasons, aussi lentement que l'on veut. Leur théorie est très simple ; elle est une conséquence des principes de la 'communication des vibrations d'un corps à un autre corps en repos dont la période de vibration est égale à celle du premier ou en diffère très peu : tel est le cas de la réaction qu'exercent l'une sur l'autre deux horloges placées sur une même tige élastique ou deux pendules suspendus à un même support légèrement flexible (expériences d'EUicot et de Savart).

M. BRILLOUIN. — ÉTABLISSEMENT DES COURANTS ÉLECTRIQUES. aS;

Il est intéressant de rapprocher ces expériences de celles de M.Kœnigsurla différence de phase de deux téléphones associés (*), dans lesquelles deux diapasons U, T4 en relation téléphonique lui ont donné une différence de phase d'un quart de vibration.

Elles ne sont pas rigoureusement comparables cependant, car, dans celles de M. Kœnig, c'est le mouvement même du premier diapason qui donne naissance au courant d'intensité variable qui excitele second, tandisque, dans les miennes, le courant est produit par une cause extérieure et le premier diapason agit seulement comme interrupteur brusque d'un courant constant.

iTlBUSSBMEHT DES G0URAHT8 ÉLECTBIttUES DAV8 UH STSTÈME QUBLCOnUE DE FILS COIDUCTEURS IMMOBILES (>);

Par m. m. BRILLOUIN.

Lorsque des courants électriques, arrivés à l'état permanent, circulent dans un système quelconque de fils conducteurs, les lois d*Ohm permettent d'étudier facilement leur répartition entre ces fds. Mais , pendant la période variable, ces lois ne sont plus applicables. Le partage du courant entre les fils dépend alors des phénomènes d'induction et n'a été étudié, à ma connaissance, que dans un nombre restreint de cas particuliers. C'est l'étude générale des lois de ce partage, aboutissant à une règle précise pour la formation de l'équation algébrique unique à laquelle se ramène la question qui fait l'objet de ce travail.

I. — Dans la première Partie, j'étudie un système simple, formé de circuits fermés voisins en nombre quelconque.

La nécessité physique que l'intensité des courants ne croisse pas indéfiniment avec le temps conduit aux conséquences suivantes :

(*) Journal de Physique, t. VIII, p. 175.

(') Je ne donne ici que la manière d'établir les équations du problème et lenoncr des principaux résultats. Le lecteur trouvera )e détail des démonstrations et les exemples dans raon Mémoire original [(Thèse pour le doctorat es sciences mathématiques (.^/i/ia/e5 de l'École Normale, janvier 1881)].

a58 M. BRILLOUIN.

1. Le potentiel d'un circuit fermé sur lui-même est toujours positif. Gela résulte aussi d'une manière évidente de la forme de rintégrale qui représente ce potentiel.

2. Les potentiels sur eux-mêmes et les potentiels mutuels d'un nombre quelconque n de circuits fermés satisfont toujours à la relation {*)

Wh W., ... W.„ W,. W„ ... W.,,

do.

où Waa désigne le potentiel mutuel des deux circuits fermés /i, X, et Waa le double du potentiel du circuit h sur lui-même. Lorsqu'il n'y a que deux circuits fermés, cela se réduit à

WnW„-(W,,)«>o.

3. Si le potentiel d'un fil sur lui-même est nul, le potentiel mutuel de ce fil avec un autre quelconque est aussi nul. Ce fil n*a plus aucune action inductrice.

Ce n'est là qu'un cas particulier d'une propriété beaucoup plus générale relative aux déterminants A.

4. S'il n'est pas possible de satisfaire rigoureusement à la condition limite

WhW„-(W,,)V-=o,

on peut du moins en approcher beaucoup.

Formonsdeux torons, l'un de a fils, Tautre de 6 fils, et enroulonsles côte à côte de manière à en faire une seule bobine. Supposons qu'un courant parcoure successivement les a fils du premier toron et un autre les b fils du deuxième toron dans le même sens.

Soit (V le potentiel sur lui-même d'un seul fil enroulé corome l'ont été les deux torons. Le potentiel mutuel de deux fils absi

(*) Dans la théorie de l'induction de Maxwell {A Treatise on electricity and magnetism, t. II, chap. VI), on déduirait immédiatement ceUc relation du n* 566, chap. V, sur les équations de Lagrange.

ÉTABLISSEMENT DES COURANTS ÉLECTRIQUES. a59 enroulés esl à peu près aiv, et Ton a

\\\ yi=: mv -\ X 2iVz=z rt'ir,

iWîj=6trH X2iv~ b^iVy

Wijtm ab,2ivr=^ 2abir,

ce qui donne bien

S. Quand un déterminant A est nul, il y a une relation linéaire entre les intensités danâ les n fils correspondants, indépendante des dérivées des intensités.

Pour deux fils enroulés côte à côte, comme il vient d'être dit, cette relation est

biEa-Kia)^a{E,^n,î,).

IL — 6. Les systèmes qui font l'objet de la seconde Partie sont formés de fils qui se réunissent en certains points nommés sommets; ces Cls sont disposés de telle sorte qu'on puisse toujours aller d'une extrémité à l'autre d'un fil donné par un chemin composé uniquement de fils différents du premier: tout fil fait donc partie d'un circuit fermé.

On peut alors négliger la capacité des fils et regarder chacun d'eux comme parcouru à chaque instant par le même courant dans toute sa longueur. Il s'agit uniquement de fils qui ne subissent ni déplacement ni déformation, et dans le voisinage desquels aucun aimant ne se déplace. Les résistances sont supposées constantes, ainsi que laforce électromotrice des piles. Les variations d'intensité peuvent être dues à une modification quelconque de l'état du réseau, pourvu qu'elle laisse tous les circuits fermés. Telles sont : la fermeture simultanée de tous les circuits qui contiennent des piles; la substitution instantanée, à un nombre quelconque des piles, de fils de même résistance, ou la substitution inverse. Ces substitutions peuvent avoir lieu soit pendant l'état permanent, soit à un moment quelconque de la période variable, ce qui altère brusquement les constantes qui dépendent de l'état initial, sans changer les équations différentielles.

26o M. BRiLLOUIN.

7. Sommets. — A chaque sommet correspond une équation de conservation de Télectricité :

Les intensités y sont précédées du signe + ou — , suivant que le sens positif sur le fil correspondant est dirigé vers le sommet ou en sens inverse.

Groupes, — Il peut arriver qu'un certain nombre de sommets reliés entre eux par des fils ne soient reliés à aucun des autres sommets: on dit alors que les fils qui communiquent seulement avec les preiuicrs sommets forment un groupe distinct. Soient^ le nombre de ces groupes dans le système de n fils que nous considérons, et s -\' g le nombre total des sommets. Il n'y a que 5 équations distinctes relatives aux sommets. En efi'et, en ajoutant toutes celles d'un même groupe, on obtient une identité, car toute intensité qui entre avec le signe -[-dans l'équalion d'un sommet entre avec le signe — dans l'équation d'un autre du même groupe et n'entre pas ailleurs.

8. Pour établir les équations relatives à chaque fil, il faut tenir compte de deux sortes d'actions : celles qui proviennent du courant électrique ou de ses variations, et celles qui tiennent à la distribution superficielle de l'électricité sur les conducteurs. Occuponsnous d'abord des premières.

9. Force électromotrice d'induction. — Lorsque deux circuits fermés, invariables de forme et de position, sont parcourus par des courants variables, la force électromotrice totale dans le premier

circuit, due à une variation --rrdt de l'intensité dans le deuxième

circuit, est, comme on sait.

w^ff'^dsds;

en posant

£ étant l'angle des deux éléments ds, ds\ et r leur distance ( * ).

(') Cette expression de la force électromotrico due à la variation de l'intensité a

ÉTABLISSEMENT DES COURANTS ÉLECTRIQUES. a6i

Il faut donc que la force électromotrice produite dans un élément

ds par une variation -i- dt dans un autre élément ds' soit de la

forme

9 étant une fonction de la distance seule des deux éléments, condition nécessaire et suflisante pour que (p disparaisse dans l'action de deux circuits fermés.

Désignons par a, ^, cl', ^' des indices qui se rapportent aux extrémités de deux fils non fermés. W désignant toujours la même intégrale double, étendue aux deux fils donnés, la force électromotrice dans le premier fil, due à une variation --t- dt dans le deuxième, est

et, pour l'action de tous les fils du réseau (6) sur le premier fil, c'est la somme de termes pareils.

Groupons tous les termes «p.^ qui se rapportent au même sommet a'; ils se réduisent au produit de. ç«^«r par la dérivée de la somme des intensités qui aboutissent à ce sommet; comme <p« ,r change de signe suivant que le sens positif choisi sur le fil est dirigé vers le sommet ou en sens inverse, les intensités entrent dans la somme avec le même signe que dans Téquation de ce sommet. Ce coeflîcient est donc identiquement nul.

La force électromotrice dans un fil donné, due à Tensemble du réseau (6), est donc égale à

avec

\Vi^ / / '.ll^ldsds'.

été éUblie par Felici au moyen d'expériences directement inspirées des expérionocs fondamentales d*Ampére en Électrodynamique. On sait aussi qu'il est facile d*imaeiner une loi d'action des masses électriques en mouvement qui ait à la fois pour conséquences les lois de TÉlectrodynamique et de l'induction. Celle de Weber est la plus connue.

/. de Phjt,, t. X. (Jui^i i88i.) 19

36a M. BRILLOUIN.

On verrait même que, s'il y avait entre deux éléments des actions électromotrices proportionnelles aux dérivées successives des intensités, par le seul fait qu'elles dispiatraissent de l'action mutuelle de deux circuits fermés, elles disparaîtraient aussi du système (6).