Nous conserverons donc à l'intégrale double

le nom de potentiel mutuel ou coejjicient d'induction mutuelle des deux fils, puisqu'elle définit complètement la force électromotrice des deux fils, quand ils font partie du réseau que j'étudie. Rappelons que, par sa forme même, elle fournit les lois d'addition suivantes :

i^ Le potentiel mutuel de deux circuits formés chacun de plusieurs parties est égal à la somme des potentiels mutuels de toutes les parties de l'un avec toutes celles de l'autre circuit,

2® Lorsque les deux éléments appartiennent au même fil, c'est la moitié de l'intégrale qu'on appelle potentiel dujil sur lui-même ou coefficient de self -induction.

Le potentiel sur lui-même d'un fil formé de plusieurs paities est égal à la somme des potentiels sur elles-mêmes de chaque partie, augmentée de la somme des potentiels mutuels de toutes ces parties entre elles.

1 1 . Equations du mouvement de l'électricité dans un quelconque des fils, — Soit AB un fil, sur lequel la direction AB est choisie arbitrairement comme positive. Une pile est placée sur ce fil; sa force électromotrice rapportée à la direction positive sur le fil, c'est-à-dire l'accroissement de potentiel électrostatique qu'on observe en la traversant de A vers B, est Ei

Soient Va, VbIcs potentiels électrostatiques aux extrémités A, B du fil; la force électromotrice due à la distribution superficielle de l'électricité est

Va-Vb.

Pendant le temps dly la chaleur dégagée dans le fil est Ri^dt» Le travail chimique de la pile est Eidt.

ÉTABLISSEMENT DES COURANTS ÉLECTRIQUES. a63

Le travail des forces électromotrices, tant électrostatiques que (l'induction, est

(v,-VB-i:wf)/rf.;

enfin, les circuits étant invariables de forme et de position, le travail des forces électrodynamiques est nul. L'équation des forces vives donne donc

Ri^dt^.Eidt-^{\f,--\^)idt-(z^^\idt ou

p=l Ces équations sont en nombre égal à celui des fils (*).

12. Remarquons qu'elles ne contiennent que les différences des potentiels électrostatiques aux divers sommets. Comme chaque groupe est, à cet égard, complètement indépendant des autres, on peut rapporter les potentiels des sommets à celui d'un quelconque du même groupe. Le nombre des différences de potentiel distinctes qui entrent dans les équations d'un groupe est égal au nombre des sommets, moins un ; pour le réseau entier contenant s -^^ g sommets et g groupes, il n'y a que s différences de potentiel distinctes, autant que d'équations distinctes de conservation de l'électricité.

13. Toutes les équations étant linéaires à coefficients constants,

on sait qu'on les intégrera par des sommes d'exponentielles.

Posons donc

t'I formons l'équation en a. On sait qu'elle résulte de l'élimination

(') Si les nis se déplaçaient ou se déformaient, il faudrait remplacer dans ces equalions les termes Wj^-^ par ^(W,,^/p).

a64 M. BRILLODIN.

des constantes A, 6 entre les n équations des fils

\ A/,Wp,Aa -H ApRp4- B^— B^ = o

et les s équations des fils

2Aa=o,

qu'on aura soin d'écrire dans l'ordre des indices des sommets. Cette équation s'écrit immédiatement sous forme d'un déterminant de (n 4- sy termes égalé à zéro. Désignons-la par F(a)= o.

H. En prenant l'équation sous cette forme, on reconnaît facilement qu'elle est de degré n — 5 en a.

Par une transformation assez simple, on la ramène à une équation très étudiée dont toutes les racines sont réelles et inégales.

Ainsi, toutes les racines de F (ol) = o sont réelles et inégales. Il en résulte qu'il ne peut s'introduire ni sinus ni cosinus du temps dans l'expression des intensités et des potentiels aux sommets d'un sjstème quelconque de fils soumis aux seules lois de l'induction électrodynamique. Aucun phénomène périodique ne peut y prendre naissance.

On reconnaît très facilement qu'il n'en est plus de même dès qu'on introduit sur le circuit un condensateur (*).

15. Règle pour écrire immédiatement V équation qui donne les exposants ol d'un système quelconque de bobines. — Enfin, en comparant les différentes manières de réduire le déterminant à (/i — sY termes, on arrive à la règle suivante :

/i, nombre total des bobines;

gy nombre des groupes distincts;

s ->r g^ nombre total des sommets.

Le plus haut exposant de a est n — 5, et l'équation est

F(a)=:A„,a«-'-hA„,H-A;,,,a«-'-»-|-...4-A,a-hAo-0.

(•) Journal de Physique, t. IT, p. 88.