I. — Théorie
Soit une lame diélectrique dont les faces S,, S^ [fig* 1) ont été couvertes d'une couche conductrice (infiniment mince) de manière à former un condensateur fermé; désignons par :
U| , le volume de la cavité interne ;
U], le volume extérieur du diélectrique ;
U = Uj — U^, le volume de la matière diélectrique.
Fio. 1.
Je me propose de trouver les variations (AU), (AU^), (Allj), quand on charge le condensateur à une différence de potentiel Y.
Variation de volume de la matière diélectrique (AU). — Imaginons qu'il s'exerce sur S^ et Sj une pression p, et maintenons la temp&i^ature constante; l'état du système sera fonction de deux variables pV ; pour une transformation dp^ d\, il faudra fournir un travail dïB
donné par :
d^n = VdM — pdU,
M désignant la charge électrique du condensateur.
M = C V, si C représente la capacité électrique ;
cfM est une différentielle exacte d'après le principe de la conservation de l'électricité. On peut donc écrire :
d^^=^^[^.dW + -dp'j^p(^d\ + ^dpj
460 SACEHDOTE
Or d^ doit être une différentielle exacte, puisque la température reste
constante :
d'où:
La variation de la capacité par la pression r~ est faible, on peut donc
négliger ses propres variations avec V, c'est-à-dire regarder r" comme indépendant de V ; en intégrant, on a alors :
,„ -=(-!)! .« -=(-iDw,
en désignant par W Ténergie dite électrique du condensateur.
Cette formule est vraie, quelle que soit la valeur de p ; elle nous donnera encore la déformation pour p = o, c'est-à-dire dans le cas du condensateur libre qui est celui que nous voulons étudier.
Occupons-nous maintenant du terme ( — r> T" ) î ^^ capacité électrique est proportionnelle à une fonction linéaire des dimensions géométriques et à la constante diélectrique K; quand la pression p change de dp, le diélectrique reste semblable à lui-même et isotrope ;
le coefficient de diminution linéaire est L en désignant par v le coeffi-
cient de compressibilité cubique de la matière diélectrique ; quant
au coefficient de variation de la constante diélectrique, nous avons
vu dans Fétude préliminaire qu'il était ( — k) ; donc :
d'où:
(!') AU = ('ï -f kj W.
Remarque, — On pourrait faire un raisonnement identique dans le cas où, au lieu d'un condensateur fermé quelconque, il s'agirait d'un condensateur pian ou cylindrique et plus généralement d'un condensateur constitué par une lame diélectrique quelconque métal-
lisée sur ses deux faces; les formules (i), (!') s'appliquent donc à tous les cas.
Cas particulier où le diélectrique est une lame plane ou une lame mince de forme quelconque. — La formule (!') peut alors être encore
SK transformée, car C = t — y S désignant la surface de la lame, et e son
épaisseur ; on a alors :
(!') ^^ = (3 + *) ^ ^ ^ ®^ comme U = Se
<o f = 0+ ') rJ = (5 + ') s "■■
Je reviendrai plus loin sur les lois indiquées par ces formules.
Variation de volume de la cavité interne (AU^). — Imaginons le diélectrique soumis à une pression p^ s' exerçant seulement sur la face interne S^ ; un raisonnement identique au précédent donnera :
Variation de volume extérieur (AU3). — Imaginons le diélectrique soumis à une pression p^ s^ exerçant seulement sur la sur face externe S^ ; le même raisonnement donnera :
Mais, dans ces deux derniers cas, la pression ne s'exerçant que sur la face interne ou sur la face externe, à la variation dp correspondra pour les diélectriques une déformation complexe qui ne le laissera ni semblable à lui-même, ni isotrope ; nous ne pouvons donc plus transformer les égalités (2), (3), comme nous l'avons fait pour (I); mais, dans le cas particulier du condensateur sphérique (et aussi plan ou cylindrique)^ on pourra pousser le calcul à fond et obtenir les lois qui régissent les déformations (AU^), (AUj), tout aussi bien que celles (1") auxquelles obéit la variation de volume de la matière diélectrique; c'est ce que nous allons faire maintenant.
