APPLICATION AU CAS DU CONDENSATEUR SPHERIQUE INFINIMENT MINCE

Soit R le rayon ; et e l'épaisseur supposée très petite par rapport à R. Variation de volume de la cavité interne, — La formule obtenue

dans le cas général était :

KR2

mais ICI C =

C^4~"K:)P4 R^p< c^p^' or, d'après Tétude préliminaire faite plus haut :

K Dp^ ~ 7 *'

et d'après les formules qui donnent la déformation élastique de la sphère mince (*), on a :

donc:

R ()P4 ^ '2e e op^ e ^

l«)C Rfia/i \R| R R/ii\

la formula (2) devient alors, en remplaçant C et r — par leurs valeurs:

(4) AU4 = 3(fl + /r,)^U4^,

formule qui peut s'écrire :

(4') ^ = 3(« + *,)êH«.

Remarque. — En désignant par (L) la longueur d'une ligne quelconque tracée sur la sphère ou bien encore celle du rayon, on aura :

L ~ 3 U/ ou

Variation du volume extérieur (AUj). — Elle est égale à la variation de volume (AU^) de la cavité, car le diélectrique est supposé infiniment mince.

(I) Voir à ce sujet : Sacbrdotb, Sur les défoi^malions élastiques des vases minces (/. de Phys., p. 516) (1898} : je rappelle que, dans ces formules, a désigne le coefficient d'allongement longitudinal ou Tinverse du module d'élasticité de Toung; et ff, le coefficient de Poisson.

Il est également intéressant de calculer la :

Variation d'épaisseur de la lame diélectrique. — Le volume de la matière diélectrique étant U = 47rR^e, on a :

■Û=H"RJ + lTJ; "*'' U, = 3«R»; donc -^ = 3 (^— j

et par suite:

Ae AU 2 AU< .

en rem on a:

plaçant (-fr) et ("TT^) parleurs valeurs tirées de (!'") et (4'),

mais on a vu dans Tétude préliminaire que A = 2A^ -f- A,, et on sait, de plus, que y = 3a(i — 2<t), donc:

CAS DU CONDENSATEUR SPHERIQUE d'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

Soient R| et Rj les deux rayons ; e, l'épaisseur du diélectrique e = R, — R« ; la capacité électrique est :

Variations du volume de la cavité (AU, ) et du volume extérieur ( AU^) . — Nous allons montrer qu'on peut déduire ces déformations de la sphère épaisse des formules obtenues pour la sphère infiniment mince ; le calcul, quoique encore assez difficile, sera cependant plus commode que celui auquel on serait conduit en essayant d'appliquer à ce cas les formules générales (2), (3) obtenues pour (AU,) (AUj).

Soit V le potentiel auquel on porte Farmature interne, tandis que Texterne est au sol; à une distance r du centre, le potentiel est :

en posant: « = ^ — S"'

Considérons {fig, 2) une tranche sphérique infiniment mince, A, comprise, avant la déformation, entre les rayons r et (r -|- rfr), et après celle-ci entre les rayons (r -|- p) et (r -}* rfr -j- p -j- c?p), p étant une fonction de r.

Fio. 2.

Cette tranche A se déforme :

i* Parce qu'elle est soumise sur ses deux faces «, et s^ à des pressions p et (p + dp) provenant de Taction du diélectrique soit intérieur, soit extérieur àA (p est aussi une fonction der) ;

2^ Parce qu'il existe une différence de potentiel do entre ses deux faces :

La déformation due à la première cause est donnée immédiatement par les formules de déformation élastique de la sphère mince (') :

Quant à celle due à la différence de potentiel, elle est fournie par les formules de déformation électrique du condensateur sphérique

(•) Voir J. de Phys,, loc. cit.

infiniment mince, établies un peu plus haut :

La déformation totale s'obtiendra en additionnant, ce qui donne :

de l'égalité (a) tirons par différentiation ( "T ) et égalons la valeur

obtenue à celle que donne (p) ; nous arrivons à Téquation différentielle :

dont la solution est :

P- 8s f» L +2a(l-»)Jr' ^r3+"'

A et B étant deux constantes que l'on détermine par les conditions limites p = o pour r = R, et pour r = R, ; on déduit de là :

^^^ dr "^ 8r i2 L ^ 2a(i — a)J V* '^ RJ — R-f RiRJ r»

Ce que nous voulons obtenir, ce sont les valeurs de ( - j pour r = R^

et r = Rj (nous les désignerons par -^ et "ït^) 5 pour leis avoir, il suffit maintenant de faire successivement dans l'équation (a) :

dp r = R^, p = 0, -~ = la valeur donnée par (y) pour r = Ri,

r=:Ra,p = o, ^ — — r = R,.

On obtient après calculs :

'«^ ^ = si ["+*- 1^" (*--')+ ^*' + *'^ 0 - ii sf^)] 8-J-

En outre, comme « = Rj — R, , on a Ae = ARj — AR^ , ce qui donne après calculs :

Dans le cas où la sphère est assez mince pour qu'on puisse négli--

e ger les puissances de jr- supérieures à la première, ces formules

deviennent :

Enfin, en négligeant r^j on retrouve bien les formules (4^^ et (5) relatives à la sphère infiniment mince.

Remarque. — Rappelons que Ton a en outre (6' bis) -j^ == 3 f p )