I. — Quelques remarques préliminaires sont nécessaires

Nous supposons que Ton ne connaisse qu'un nombre limité, N, de valeurs particulières, 2/0, ^p -..7 ^y» •••^ ^n-i de la fonction, corres- (mndant aux valeurs x^^ x^^ ..., .ry, ..., x^^i de la phase.

1® Ce nombre étant supposé limité, nous ne pouvons songer à dél<?rminer plus d'inconnues qu'il n'y a de données et, par suite, d'équations. On doit donc supposer la série de Fourier limitée à ses X premiers termes. Soient Ajj, A,, ..., Ani ; B,, Bg, ..., Bn.^ les coef-

{• j j:<le r*hf/s., :V série, L VU, p. 141 ; 1808 ; — cl lier ne (générale des Sciences, i, IX, p. 669; 1898.

J. de Phys., 3- série, t. VIII. (Mars 1899.) 10

ficients correspondants. On voit immédiatement que Ton a :

N| = -î Na = — — i, si N est pair ;

N^ =z N2 = — - — } si N est impair.

2* Le problème général se simplifie si Ton suppose que les valeurs de la phase auxquelles correspondent les données satisfassent, deux à deux, à la condition :

(1) xj=2iz—xtf j.

Il est possible, en effet, dans ce cas, de calculer N| + 1 valeurs de la fonction -?, et Nj valeurs de la fonction i, définies par les relations :

F (a?) 4- F (— g) Fix) + Fi2K — œ) *- 2 - 2 '

valeurs qui sont :

Or, ainsi que Ta montré Fourier, ces fonctions ^ et / jouissent des propriétés suivantes qu'il est utile de rappeler :

La fonction z^ de même que cos tx (i étant un entier quelconque), est une fonction paire de â? ; la fonction t^ de même que sin ta;, une fonction impaire de œ. On a, en outre, quel que soit œ :

Il résulte de ces remarques que Ton a :

r = Ao + '^1 cos a: + ... + A/ cos ia? + ... + An, cosN^ar, t=: Bf sinar 4- .•• + B/ sin ia: -f -. + Bnj sinN2ar,

les coefficients A et B, qui figurent dans ces formules, n'étant autres que ceux du développement de la fonction y étudiée. Le problème à résoudre se trouve, de la sorte, scindé en deux autres plus simples.

(«) SiN eitpair, Zs^ =^«,4

SÉRIE DE FOURIËK 139

3^ La condition (1) se trouve satisfaite, en particulier, si les valeurs de la phase auxquelles correspondent les données sont équidistantes, c*est-à-dire satisfont à la condition :

D^autres simplifications notables résultent en même temps, dans ce cas, de ce que le nombre de lignes trigonométriques distinctes (autres que 1), qui figurent dans les expressions des y, et qui seules, nécessairement, figurent dans celles des coefficients A ou B, est

seulement :

N — 1, si N est impair,

- — 1, si N est pair,

tu

T- — 1, si N est divisible par 4.

Dans ce dernier cas, surtout, la résolution directe des N équations fondamentales à N inconnues devient relativement pratique, si N n*est pas trop grand, par suite des caractères de symétrie que présentent, dans Tun et Tautre groupe, ces équations. Il est utile, pour la suite, de donner, à titre d'exemple, les expressions des coefficients ainsi calculés, dans le cas de N = 16. Nous poserons, pour simplifier,

h = cos 7 = sin 7 : c = ces ^? s = sin f :

8A« = ?S^^4- (si + ï7)+ (sj + S6)+ (h + h) + 'ii 4A, = ^"'^ + c{z,— i^) + fc (5j - Se) -f .1 (îj - Sj),

4A, = ^i^^ + A (ï, + ît) - h (î, + 3ï) -• z^,

4A, = '*"''' + «(«(— i-i) — A(«î — Sg) — c(î3 — Zj), 4A., = 3Î^ (^ + 3.) +,^,

4A5 = âL:=^ , (î, 2,) A (3, jj) + c(î3-î,),

4A, = â^ii» - * (s, + 27) - A (s» + H) - î...

4A, = '»7^— <'(^< -*7) + A(îï-2«)- «(ïj — S5). %k,= '^^^- (ï. + ï7)+ (»j + »e)- (»»+*») + iv

4B< = s{t 4B2 =zh{t 4B3 = c{t

4B« rz: t

4B5 =zc{t 4Be =ih{t

4B7 :rr S {t

+ h) + h (ti + fe) + c{h + h) + U,

~ h) - (^2 - <6) + '^ (^3 - hh

II. — La résolation directe des équations fondamentales, toujours pénible, même dans les conditions les plus favorables, serait à peu près impraticable dans le cas général. Il nous est possible, au contraire, de déduire immédiatement des formules générales des expressions suivantes des coefficients A et B, établies par Fourier :

Ao = ^ ydx = ;J Zdx,

Ai =z - I y CCS ixdx ^z- j z cos ixdx^

1 /*aiï 2 /^

B| = - / y sin uTcla; = - / z sin ixdx.

Nous nous proposerons de transformer ces relations de manière à pouvoir calculer avec toute l'exactitude possible les coefficients des N premiers termes de la série, et cela en utilisant toutes les données, au nombre de N, mais sans introduire aucune hypothèse arbitraire.

Considérons à cet effet les courbes dont les ordonnées sont respectivement y ou ir, y cos ta? ou z cosû*, y siniœ ou t sinix^ courbes dont les intégrales ci-dessus représentent les aires. Ne connaissant que N points de chacune de ces courbes, mais nullement les formes des arcs qui réunissent deux de ces points consécutifs, nous ne pouvons faire mieux, pour calculer ces aires, que de substituer à chacun de ces arcs inconnus la corde correspondante.

On est, de la sorte, immédiatement conduit aux expressions suivantes, qui sont générales :

Ao — ^ [yo(^i — ^0 + a^N — arN-i) + S?-'2/y (.Ty + 4 — Xj,)]y (3) { A/ = — [i/o(^< — a^o + XN — .rN,) + Xî' ~ Vy(-0-+i — ^j~i) cosw"/;, B/ zzr - il?- V>(^y f I — '^y. <) sin i.rj.

SÉRIE DE FOURIER i41

Ces expressions se simplifient, si Ton suppose que les conditions (1) se trouvent satisfaites. Elles deviennent :

Bi=: - Sf* ~ *0 i^J + i — ^J-i) sin ixj.

Elles se simplifient encore davantage, si nous supposons que les conditions (2) soient satisfaites :

Elles deviennent :

( B, = |sr3-%sin20|.

III. — Il est évident a priori que les formules (3), (4) et (5) ne sont qu'approchées, diaprés la manière même dont nous les avons établies, et qu'en général les coefficients ainsi calculés ne doivent pas satisfaire rigoureusement aux N équations fondamentales de conditions. Remarquons, en effet, que, d'après la forme même de ces équations, les phases ne sauraient intervenir dans les expressions rigoureuses des coefficients, autrement que par leurs lignes trigonométriques et celles de leurs multiples, tandis que, dans les expressions (3), les phases figurent en même temps par elles-mêmes.

Toutefois, lorsque les valeurs de la phase auxquelles correspondent les données sont équidistantes [conditions (2)], il devient possible, en s'appuyant sur les deux théorèmes suivants, de corriger immédiatement les coefficients ainsi calculés [formules (5)].

1* Lorsque le nombre N des données est pair^ le dernier coefficient, calculé par les formules (5), doit seul être corrigé et réduit à la moitié de sa valeur ;

(ij On a d'ailleurs cos ir^^ =3 4- 1 si i est pair, cos ijr*^^ = — 1 si t est impair.

142 MACÉ DE LÉPIXAY

2® Lorsque le nombre N des données est impair ^ tous les coefficients calculés par les formules (5) sont corrects.

Nous pouvons vérifier tout d*abord le premier de ces théorèmes dans un cas particulier, N = 16. En appliquant les formules (5), nous retrouverons identiquement les seize expressions des coefficients calculés directement et donnés précédemment, à une seule exception près : la valeur de Ag est trouvée deux fois trop forte.

Quant à la démonstration générale de ces théorèmes, elle est plus longue que délicate. Supposons tout d'abord N impair; dans Texpression développée de yt (tétant un entier quelconque), remplaçons tous les coefficients A et B par leurs valeurs déduites des équations (5). Le coefficient de yj dans le second membre de l'expression de yt est (*) :

N [2 "^ *^^^^ ^* ■"■ •''^ i + ^^'**^* "" •'^ § + "• + ^^^^^ ~ *^ ^* "" ^^ ij' •

qui se réduit, dans le cas particulier de i = y, à :

et si j ^ i^ k:

ou :

2 r sin.-sin(i>^i)|1

•NI 2+ ^ . ,. ., :r l"~^*

I 2sm(i-;)- I

Si Ton identifie dès lors les coefficients de y j dans les deux membres de Téquation, on constate que, dans tous les cas, toutes les équations de conditions auxquelles on parvient sont simultanément satisfaites (deuxième théorème).

Dans le cas de N pair, nous admettrons, guidés par le résultat obtenu dans un cas particulier, qu'il suffit, pour corriger les coeffi-

(>) En remplaçant zj et tj par leurs valeurs.