SÉRIE DE FOURIER

cienis donnés par les formules (5}, de multiplier le dernier d'entre eux, An, par un certain coefficient, u. En conduisant le calcul comme

plus haut, on obtient, pour coefficient de yy dans Texpression de yi :

S [2 "*" *^®^2(* ■"•')§ + ••• + ^^^^{^ "" 0 (** —i) s + *' cosiKCosiff 1 qui se réduit, pour j == t, à :

et pour j ^ i, k:

cos(i-j)fsin(f-l)(i-j)|

^ + u cosîK cosj.*: \i

sin(i— ;)|

ou :

sm— ^r— (1— j)«

2sin(i-;)| I «\ -/

Toutes les équations de conditions se réduisent à :

Ce qui justifie le premier théorème énoncé.

IV. — La connaissance de ces deux théorèmes est évidemment indispensable, lorsque Ton applique directement les formules indiquées au calcul de tous les coefficients que l'on peut déterminer. Elle Test également lorsqu'il y a avantage à employer, pour ce calcul, la méthode des approximations successives.

Cette dernière méthode s'impose en effet dans deux cas : 1* Lorsque la fonction périodique que Ton étudie est représentée par une courbe continue et que, par suite, le nombre des données utilisables est aussi g^and que Ton veut, sans que Ton puisse savoir, d'ailleurs, aprioriy le nombre qu'il convient d'en choisir ; ^ Lorsque le nombre des données, tout en étant limité, est un peu considérable ; si l'on voulait, en effet, les utiliser toutes du premier coup, le calcul de

ch acun de ces coefficients, et, a fortiori^ de tous, deviendrait très pénible; j'ajouterai: en partie inutile. La série de Fourier étant en effet toujours convergente, les valeurs des coefficients successifs fi Dissent par décroître. Or on est en droit de supprimer tous les termes du développement, qui sont tels que les coefficients correspondants soient inférieurs aux erreurs possibles que comportent les données. La méthode des approximations successives que je me propose d'exposer permet déjuger des nombres de termes que Ton doit conserver et, ainsi qu'on pourra le voir par un exemple numérique, d'arrêter les calculs exactement au point utile.

Nous supposerons donc qu'après avoir employé un certain nombre, N, de données, d'où l'on a déduit N^ -|- 1 valeurs de z et Nj valeurs de ^ que je représenterai par z^^^ z^, 2^4, -.., -2x4 et par t^, ^4, ..., ^iNa» ^^ calculé les valeurs des N premiers coefficients de la série de Fourier (*) (en corrigeant, s'il y a lieu, le dernier), on ait lieu de penser que ce nombre de termes est insuffisant. On pourra le reconn aître tout d'abord à l'ordre de grandeur des derniers coefficients obtenus, mais mieux encore, si l'on connaît d'autres valeurs de 2 et de^, intermédiaires entre celles que l'on a utilisées ^^, 3-3,..., Zis^^\ <^, ^3, ..., /2N2-fi» ^^ ^^ comparant les valeurs observées à celles que Ton calcule par la série de Fourier, limitée à N termes, dont on vient de calculer les coefficients.

Supposons donc que les écarts ainsi obtenus (observation — calcul), A^'p A^3, ..., A-^iN(i ; A^^, A/3, ..., A/2N2 + 1 \ soient supérieurs aux erreurs d'observation. Nous sommes amenés à doubler le nombre des données, ainsi que celui des coefficients de la série de Fourier; mais il est inutile^ à cet effet, de refaire le calcul complet.

Soient en effet Ani + 1, ••., An, B^o + i, ...,Bn t les valeurs cherchées des nouveaux coefficients; et AA^,, AA^, ..., AAn, ; AB^, ..., AB^g, les valeurs des corrections à apporter aux coefficients déjà calculés pour correspondre à ceux que donnerait le nouveau calcul. On voit facilement que ces nouveaux coefficients, de même que les corrections aux premiers, s'obtiennent au moyen des mêmes formules générales (5), à la seule condition d'y remplacer tous les z et ^ par les ùiS et Lt correspondants.

Ces nouveaux calculs sont, en réalité, simples et rapides (en sup-

(») Au moyen des formules (5), dans lesquelles on suppose doublés tous les indices des z et des t^ de manière à conserver à chaque lettre sa signification.