SÉRIE DE FOURIER U
posant toujours que les valeurs de la phase auxquelles correspondent les données sont équidistantes). En effet :
1*^ Si Von a eu soin^ lors du premier calcul^ de corriger^ s'il y a lieu^ le dernier coefficient^ tous les \z et A/ d'indices pairs sont identiquement nuls. La moitié des termes qui figurent dans les formules (5) se trouve ainsi disparaître ;
2*^ Les termes subsistants seront, en général, très petits, d'autant plus petits que le premier calcul a déjà fourni des résultats plus approchés ;
3** Considérons, quel que soit N, les termes d'ordre y dans AA„ et A^ . „ d'une part, dans AB„ etEw-M de l'autre. Les arcs correspondants (le nombre total des données étant ici 2N) sont :
«i^ et (?(w)yi^,
dont la somme y?: est nécessairement de la forme (2A 4- *) "^t puisque les termes d'ordre j impair subsistent seuls, en vertu de la première remarque. Les cosinus de ces deux arcs sont donc égaux et de signes contraires, les sinus égaux et de môme signe. 11 en résulte les relations importantes :
AAu = -— An-« ; ABw = Bn-u.
Le nombre des coefficients à déterminer par le nouveau calcul se trouve ainsi réduit de moitié ;
4° Supposons que N soit pair. Le dernier coefficient déterminé par le premier calcul est alors An. L'expression de la correction
correspondante est de la forme:
AAN=^S?-*AZyCOSJ^.
Or j étant impair, tous ces cosinus sont nuls, et l'on a :
AAn =^ 0.
5** 11 sera toujours avantageux, dans le calcul des nouveaux coefficients, Axi -t 1» •••» An; Bn, + i, ..., Bn i, de suivre, pour chacun de ces groupes, A ou B, l'ordre croissant des indices. Deux cas peuvent en effet se présenter :
Si Ton constate que les coefficients successifs de l'un de ces
groupes vont en décroissant et que Tun d'eux est inférieur aux erreurs possibles d'observation, il est permis, pour ce groupe, d'arrêter en ce point les calculs, car les coefficients restant à déterminer seraient complètement négligeables.
Si, par contre, on constate que, pour Tun de ces groupes ou pour les deux, le dernier coefficient calculé reste supérieur aux erreurs possibles, on est conduit, si le nombre total des données dont on dispose le permet, à appliquer une seconde fois la même méthode d'approximation successive, en doublant de nouveau le nombre des données utilisées.
V. — Je crois utile de joindre, à l'exposé théorique qui précède, un exemple numérique.
Considérons l'ellipse dont les demi-axes sont 1 et â, dont l'équation en coordonnées polaires est :
-^ = 0,625 — 0,375 cos 2 (?,
ou, en posant, pour simplifier, x =z3L^ :
- = 0,625 — 0,375 cos x.
Nous nous proposerons de développer p en fonction de x par la formule de Fourier. Dans cet exemple particulier, les l (et par suite les coefficients B) sont tous nuls, et les z égaux aux p correspondants.
Nous prendrons comme point de départ les dix-sept valeurs suivantes des rayons vecteurs (N, = 16), supposés représenter dix-sept valeurs observées (*) :
20 = 2,000.000, Zj =1,196.803,
Zi = 1 ,894.748, hi — ^ ,095.442,
(I) Ni = 16 correspond à N = 32; mais il est & remarquer que, dans le cas actuel, trente de ces rayons vecteurs sont égaux deux à deux.
