I. — Calcul général des franges

La frange ou la courbe isochromatique est le lieu des points où chaque couple de rayons de même direction vient rencontrer la seconde face du cristal avec un retard constant. L'effet sera maximum lorsque, les tourmalines étant croisées et la section principale de la lame à 45", ce retard sera un nombre entier de longueur d'onde; de sorte qu'en appelant 8 ce retard, \ la longueur d'onde et k un nombre entier, on aura d'abord celte première relation

Si l'on appelle e l'épaisseur de la lame, r l'angle du rajon

double avec la normale, et par suite le chemin parcouru par

les deux ravons ordinaire et extraordinaire avec des indices différents, le retard sera égal à ce chemin multiplié par la différence

(') Ce problème a été trailé, pour 1^ première fois, par Langbcrg^de Chrisliania {Annales de Poggendorff, Erganzungsband, i8^2, p.' ôag-SôS).— Ohm l'a encore traité en i853, dans un long Mémoire (ao8 pages) inséré au tome Vil de TAcadcroie de Munich.

FRANGES DES LAMES CRISTALLISÉES. 4oi

des indices ou par {n' — /i)sin^O, en appelant n! et n les deux indices principaux, et 0 Tangle de la direction commune aux deux rayons avec l'axe du cristal, de façon qu'on aura, pour la différence de marche,

^ (n — 7i)esin'B

cosr

Considérons l'angle trièdre qui aurait pour arêtes : la normale à la lame IG, la direction de l'axe optique lA faisant avec la normale Tangle AIC = a, la direction du couple de rayons IR faisant

Fig. I.

avec la normale l'angle RIC = r et avec Taxe l'angle RIA == 0. Appelons (o l'angle de la section principale de la lame ICA avec le plan de réfraction ICR; la première équation de la trigonométrie sphérique nous donnera

cos6 = cosa cosr-+- sina sinrcosco.

L'élimination de ô entre (i) et (2) conduit à l'équation de la frange. En se bornant au cas où l'angle r est petit comme dans la pince à tourmalines, on peut négliger les puissances de sinr supérieures à la seconde, et alors, si l'on représente par p la différence de marche des deux rayons normaux à la lame, en posant

(3) p = {n' — /i;esin'x,

l'élimination conduit à l'équation finale

/ (cos*a 4- I sin'a) sin^r

I — sîn'acos'c») sin*r — sinsacoscosinr = / 1 ) sin*a.

Prolongeons le double rayon IR jusqu'à la seconde face de la lame en P, et joignons le point P au point C, puis marquons en

4oa A. BERTIN.

C^rla trace de la section principale sur cette seconde face, nous voyons d'abord que Tangle VCx est Tangle variable <o; le rayon vecteur p = PC = IC tangr = e sinr, puisque nous négligeons sin'r. L'équation est une relation entre <o et p, c'est donc l'équation polaire de la frange.

Si on veut l'avoir en coordonnées rectilignes, on prendi^a pour origine des coordonnées le centre du champ optique ou le pied C de la normale à la lame, pour axe des x la trace Co: de la section principale sur la seconde face du cristal, en comptant les a: positifs du côté où cette ligne est rencontrée par l'axe optique CA du cristal, et enfin pour axe des y une ligne perpendiculaire à Cx,

et l'on remplacera dans l'équation sin^r par ^ et coscosinr

par X. On aura alors

i(cos*a -h^ sin*a)y2 H- (cos*a — 4 sin*a)^' — sin2aea?= ( i je* sin*a. \P I

Telle est l'équation de la petite courbe isochromatique qui est sur la seconde face du cristal et qui produit la frange visible par sa projection conique sur le tableau.

Si l'œil est placé en I sur la première face du cristal, il verra la frange sur un plan idéal situé à la distance de la vision distincte D; sur ce plan le rayon vecteur p = esinr se projettera

suivant un rayon vecteur plus grand R=Dsini=p Les

nouvelles coordonnées X et Y de la frange projetée s'obtiendront

donc par substitution en tenant compte des relations —=— = —=-, ^ ^ X y nu

ce qui donnera

[ (cos««4-|sin«a)Y*