I. Si l'on veut rendre maximum (ou minimum.) une fonction
de trois variables, entre lesquelles existent deux relations
on peut regarder a, p, y comme des variables indépendantes, chercher les valeurs qui rendent maximum
(*) Pogg* Ann., t. CXL, p. 544.
a6 B. DOYEN.
)i et {A étant des constantes, et déterminer â et {a de manière à satisfaire aux équations (A).
IL Pour trouver l'enveloppe d'une surface définie par l'équation
où a et b sont des- paramètres variables, on opère comme si l'on voulait rendre niaximnm ou minimum la fonction
on joint aux équations obtenues l'équation (B) et Ton élimine a et 6.
III. Il s'ensuit que, si l'on veut trouver l'enveloppe d'une surface
^y P> y y ^^ étant des paramètres variables, liés par des relations
( ^Ka, ?, Y, m) = o,
on opère comme si l'on voulait rendre maximum
en regardant a, p, y» /w comme des variables indépendantes ; on joint aux équations ainsi obtenues les équations (G) et (D) et on élimine a, p, y? ^^ '" ®^ I^*
2. Ces principes rappelés, nous devons former l'équation qui donne les longueurs des demi-axes de la section faite dans l'ellipsoïde
par le plan
D'après le principe (I) nous cherchons le maximum de
en regardant x^y, z comme des variables indépendantes. Nous ob-
SURFACE DE L'ONDE. vj
tenons les équations
i5" -h Xa -h jxa*T = o, 7 -+- Xp -H ^lAy = o,
I Z -\-\^ '\- [XC*^ = o.
Multiplions ces équations (â) respectivement par x^y^z et ajoutons, nous obtenons
où Ton a posé
pî = x' -t-J^'-h ^*.
Muitiplions-les de même par a, P, Y ^^ ajoutons, nous trouvons
H) X-h [ji(a'ax-h 6«P7-f-c*Y.5) = o,
lips équations (2) donnant
X« xp ^ Xy
en portant dans l'équation (3) on obtient Téquation cherchée
rt«a» ^»«3« cîY« I
(}omme on a
uE uJ =0.
l'éqaation (H) peut s'écrire
iH')
Posons
nous aurons
rK)
3. Cela étant, pour obtenir la surface de Tonde, il faut chercher Tenveloppe du plan
/<) aj? -f- Px "•- Y-* — m = o,
î8 B. DOYEN. — SURFACE DE L'ONDE.
a, ^y Y) ^ étant liés par les équations
Nous cherchons à rendre maximum la fonction
en regardant a, p, y> '^ comme des variables indépendantes. Nous obtenons ainsi les équations
X H r r -f- 2 lia = O,
(6) {■r + ;„.fe. +''(*Mo.
2Xy
Multiplions les équations (6) par a, ^, y ^^ ajoutons, nous avons
/TU- 2 jX = o.
Multiplions-les par — ^— — j, -i, ^^ ^ et ajoutons, nous avons
Multiplions-les par j?, j^, ^, ajoutons et posons x^ -hy^ + z^ = r*, nous trouvons
d'où
Les équations (6) deviennent, après le remplacement de 2 X et de a [X par leurs valeurs,
^ — ^« j' wip -2 __ /^Y
A. TERQUEM. — PRINCIPE D'ÂRGUIMËDE. 29
Par suite, réqaation (8) donne
ar' r* z^
-4- -z^ — rr -f- -:: r = l.
C'est Téquation de la surface de Tonde.
lÉHonnàTioi m pbdigips d'arghimèdb poub lbs gobps plomAs
DAIS DIVERS «AX; Par m. a. TERQUEM.
Sur une platine mobile, on place une cloche tubulée, telle qu'une cloche à robinet, ou celle qui sert habituellement pour les décharges électriques dans le vide, en ne gardant que la virole qui ^toure le col de la cloche. On a placé auparavant dans Tintérieur un ballon de verre dont le col a été coupé^ puis hermétiquement fermé, et que Ton munit d'un crochet.
Le ballon est suspendu au plateau d'une balance hydrostatique à Faide d'un fil de soie, qui traverse la tubulure supérieure de la cloche, ainsi qu'une ouverture de o™,ooi à o", 002 de diamètre, percée dans un disque de verre que l'on fait adhérer à la tubulure à Taide d'une légère couche de suif.
Si le diamètre du ballon est presque égal à celui de la cloche, il faut régler l'appareil avec soin, pour que le ballon soit complètement libre. Pour cela, on maintient le disque de verre soulevé en le soutenant à l'aide d'un morceau de liège fendu dans lequel passe le fil de soie, puis on déplace la platine avec la cloche, de telle sorte que le ballon soit bien au centre de cette dernière*, on abaisse le disque de verre, et on le fait glisser jusqu'à ce que le fil de soie traverse librement la petite ouverture centrale.
On fait alors passer dans la cloche un courant d'air sec et l'on fait la lare en plaçant 5^'' du côté du ballon.
On fait ensuite arriver un courant rapide d'hydrogène sec ; la balance s'incline rapidement du côté du ballon ; on rétablit progressivement l'équilibre en diminuant les poids marqués ; à la fin, quand celui-ci est presque atteint, on arrête subitement l'hydrogéoe, afin d'éviter l'action mécanique du courant gazeux dont on
3o PRINCIPE D'ARGHIMÈDE.
atténue du reste TeSet en recouvrant la tubulure de la platine d'un petit disque porté par trois tiges. Après quelques alternatives d'arrêt et d'écoulement du gaz, on détermine avec assez de précision les poids nécessaires pour l'équilibre de la balance.
On remplace l'hydrogène par du gaz d'éclairage et l'on opère de même ; à cause de la grande vitesse d'écoulement du gaz, l'action mécanique exercée sur le ballon est très sensible. Enfin, on fait arriver dans la cloche de l'acide carbonique sec.
Voici les nombres que j'ai obtenus :
Coaipiéments.
Air sec 5
Hydrogène 1,70 3,3o
Gaz d'éclairage 2,71 2,29
Acide carbonique ^i7^ ' )9^
On trouve ainsi
le rapport des compléments des densités de l'hydrogène et de l'acide carbonique donne
La densité du gaz d'éclairage est donnée par l'équation
d'où
Le volume du ballon qu'on peut déduire approximativement de cette expérience est de 2*^,75.
Il suffit de faire arriver dans la cloche de l'air ayant traversé un flacon contenant de l'éther, de l'essence de pétrole ou du sulfure de carbone, pour que l'on constate immédiatement une diminution de poids du ballon ; pour l'éther, la perte de poids atteint près de i^*", la température étant de y^.
Si Ton veut simplement constater que l'équilibre est troublé, suivant la densité du gaz qui entoure le ballon, on peut prendre une cloche plus petite et la grosse boule du baroscope.
J. BERTRAND. — PENDULE DE FOUCAULT. 3i
Voici les nombres relatifs à cette expérience :
Compléments.
Air sec 3
Hydrogène 2,45 o,55
Gaz d'éclairage 2,64 o,36
Acide carbonique 3,3i o,3i
Les diflerences des poids nécessaires pour maintenir l'équilibre sont encore assez fortes pour être parfaitement appréciables avec les balances hydrostatiques habituellement employées.
i. BERTRAND. — Sur la loi de déviation du pendule de Foucault; Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XCIV, p. 47'î "882 (').
Soit M la position de l'observateur sur la surface delà Terre. Après un temps dt il sera transporté en M' sur le parallèle passant par le point M; si le plan d^oscillation du pendule n'avait pas de mouvement apparent, il tournerait avec la Terre et ses positions successives envelopperaient un parallèle ; soit I le point de contact dans la position primitive, transporté en V lorsque M est venu luimême se placer en M'; parmi les grands cercles passant par M', celui qui fait le plus petit angle avec MI est M'K qui va couper MI à une distance MK du point M égale à un quadrant. Le cercle M'I' ne laisserait paraître aucune déviation. La rotation apparente 4 du plan est donc F M'K;* M. Bertrand en donne l'expression
suivante :
If e = cos MP — .
cos MP est le sinus de la latitude, p le rayon du parallèle. Ce résultat démontre le principe sur lequel s'est appuyé Foucault.
(') D'après le Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques.
