E. MATHIEU

Ë. MATHIEU. — Mémoire sur le mouvement vibra toii'e des cloches (Journal de

l'École Polytec/mique, LI* Cahier, i88a).

Poisson a donné, le premier, une théorie rationneUe du mouvement vibratoire des tiges et des lames et plaques planes ( * ). Cependant, parmi les trois conditions aux limites qu'il donna pour les plaques, deux devaient être remplacées par une seule, ainsi que Ta démontré M. Kirchhoff (2).

Mais, si la théorie du mouvement vibratoire de ces appareils de physiciens doit être considérée comme connue, on n^a pas encore donné, que je sache, celle du mouvement vibratoire des cloches.

Avant d'exposer cette théorie, j'ai cru utile d'établir celle des lames courbes, qui est bien moins diflicile et dont toutes les considérations doivent servir à la théorie des cloches. Cauchy a traité la question de la lame courbe vibrante (*); mais, comme je l'ai expliqué ailleurs (*),i^ détermination qu'il a faite, dans les équations différentielles, des termes qui dépendent du carré de l'épaisseur, n'est pas exacte. Les calculs que j'emploie sont aussi beaucoup plus simples que les siens.

Presque toutes les cloches employées sont faites sur un même modèle, et leur épaisseur n'est pas partout la même ; par exemple, elle est deux fois plus grande à la base qu'au sommet. Donc, pour faire une théorie qui soit applicable aux cloches habituelles, j'ai dû supposer que l'épaisseur varie quand on s'avance sur le méridien, du sommet de la cloche jusqu'à la base.

11 existe une différence essentielle entre le mouvement vibratoire d'une cloche et celui d'une plaque pl^ne. Dans une plaque plane, comme on sait, le mouvement longitudinal ou tangentiel et le mouvement transversal ou normal sont fournis par des équations distinctes. Dans une cloche, au contraire, lé mouvement vibratoire normal et le mouvement tangentiel sont donnés par trois équations qui ne sont pas indépendantes. Contrairement, aussi, à ce qui a

(') Mémoires de l* Académie des Sciences, t. VHl, 1829. ( ' ) Journal de C relie, l. 40.

(*) Exercices de Mathématiques, t. III, p. î85; i8a8. {*) Journal de Mathématiques, 3* série, t. VIII. .