L'expression du travail (8) dérivée par rapport à R donne
elle passe donc par un maximum, lorsqu'on a
c'est-à-dire quand la résistance apparente est double de la résistance réelle; le retard est alors de 45", comme on l'a vu plus haut. La valeur du maximum est
W = -liî- — -
4K 2 ou, pour l'unité de temps,
la valeur de A qui lui correspond est
Il faut remarquer que ce maximum est seulement relatif à la résistance quand la vitesse est donnée. Si la résistance est donnée, le travail croît indéfiniment avec la vitesse et tend vers la limite
valeur double de celle qui correspond à la condition RT = awL.
Avec le cadre pris comme exemple, tournant à la vitesse de dix tours par seconde, on a <p = o, 1 72 ou 27:© = 62° et A = 3*'"p,68. L'intensité movenne est de 2*'"^, 344? ^^ ^* valeur limite de A,
MACHINES ÉLECTUOMAGNÉTIQUES. 297
4*"P, 166. La résistance qui, pour la vitesse donnée, correspondrait au travail maximum serait de 18°**™', 85.
Si l'on se proposait, les dimensions du cadre étant données, ainsi que la résistance extérieure r', de chercher le diamètre du fil à enrouler sur le cadre qui donnerait le courant maximum, il faudrait remarquer que, si l'on prend un fil de diamètre n fois plus grand que le fil primitif, on a, en désignant par ri, L|, S^ les valeurs nouvelles de la résistance, du coefficient de self-induction et de la surface du cadre.
et, par suite,
le maximum de cette expression correspond à
47rSLs J^ '9
on a alors
ri = r'
On voit que la résistance du cadre doit diminuer indéHniment à mesure que la vitesse augmente. Si l'on fait tendre celle-ci vers zéro, Ti tend vers /-', et l'on retombe finalement sur la condition ordinaire du maximum, c'est-à-dire /'i = r\
En appliquant ces formules au cadre et faisant T = o, 1 et r' = 5 ohms, on trouve n= i,4o6 et ri = i^'^'^^S. La valeur de A devient alors 5, 02.
6. Pour recueillir le courant alternatif, il suffit de munir l'axe de deux bagues isolées dont chacune soit en communication avec une des extrémités du fil et frotte contre un balai placé d'une manière quelconque. Mais si l'on veut que le courant passe toujours dans le même sens à travers le circuit extérieur, il faut employer
un commutateur; ce sera, par exemple, une bague coupée suivant un diamètre en deux parties isolées, communiquant chacune avec une extrémité du fil et sur lesquelles frotteront deux balais diamétralement opposés.
Si le plan de section de la bague coïncide avec le plan du cadre, rinstant de la commutation dépendra de la position des balais. La
T période est évidemment égale à — • Elle se compose toujours de
deux parties : dans Tune, chacun des balais appuie sur une des moitiés de la bague; elle commence à un instant t = ^T après le passage du cadre par le plan perpendiculaire au champ avec une
intensité lo et finit à l'instant t = ^T H y T avec une inten-
site Tf ; la seconde, pendant laquelle les balais échangent leurs
contacts^ dure un temps yT, de t = ^T h '^T à f =t}/ T -h - ;
elle commence avec une intensité F| pour finir avec une intensité I2.
Les valeurs limites des intensités dépendent de la manière dont fonctionne le commutateur. Avec la bague coupée, deux cas peuvent se présenter : celui où la commutation se fait avec une interruption du courant et celui où elle a lieu sans interruption.
7. Si l'intervalle qui sépare les deux moitiés de la bague est assez grand pour que, pendant un temps quelconque, toutes deux restent en même temps séparées des balais, il y aura à chaque demi-tour rupture du circuit et cessation complète du courant. On aura donc I© = o pour ^ = i{/T.
On en déduit
G = — Ae^'i'T sin2Tc(<J/ — tp)
et, par suite, pour la première partie.
I = A sinsTc f = — T ) "" Ac'H'T sinaït(4' — 9)
Il n'y a pas de courant pendant la seconde, puisque le circuit reste ouvert.
La quantité d'électricité q qui, durant chaque période, traverse
MACHINES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 299
le circuit extérieur a pour valeur
ldt= [c0S2ic(<]; — <p — ^)-4- C0S2it(<]; — ç)]
2ir
-^ 9inait(4.-^)ri-e-«(« 0^1-
Pour avoir le travail correspondant, multiplions Téquation (1)
T par I et prenons-en l'intégrale de / = ^T à t= ^T -] -j^T,
nous obtiendrons
— fldq = R fî^dt -4- i L(IÎ — II).
Le premier membre représente le travail électromagnétique qui correspond à une période; c'est le travail que doivent fournir les forces extérieures pour entretenir le mouvement du cadre; nous le représenterons par W; il a pour expression, en posant
.^ A«RT/i \ ASH , , , .
W = —^ ^- — ^j -f. -. cosaicCa^/ - ? - x) s»n aîc/^
— A*L sin27T((|; — <p)[«'" sina'ic(4' •+■ <p — x)"*" sina'ïc(4' -h «p)].
Dans le second membre, le premier terme W| = Ry P dt est le travail calorifique du circuit, le second W2= -L(lî — ^) représente la perte d^énergie due à la commutation, perte qui se manifeste au moment de l'interruption sous forme d'étincelle.
A la vérité, le courant est prolongé par l'étincelle au delà de l'instant de l'interruption. Comme on ne connaît ni la durée de l'étincelle ni la manière dont varie la résistance pendant cette durée, il est impossible de calculer le travail électromagnétique correspondant absorbé par le cadre : la valeur de W doit donc être considérée comme un minimum.
8. Les formules renferment deux indéterminées X e^^] la première dépend de la construction du commutateur et nous la considérons comme donnée. On devra évidemment disposer de la seconde, de manière à obtenir les conditions les plus favorables pour le fonctionnement de la machine.
3oo
La question peut être envisagée de plusieurs manières. La plus naturelle est de chercher à rendre maximum la quantité q d'électricité qui traverse le circuit dans chaque période. Celle condition conduit à Téquation
(lo) tangau(4^ — ç) = ^ ^ *->
La valeur de q est alors AT
q = /(i -h cos2it5^)* -4- Isinau^ — (i — «"*) tangaicoj*.
L*intensilé finale I{ , sur laquelle se fait la rupture du couranl, est Il = — A sîna'ïc(<J/ — «)(«'" -4- cosait^) -H Acos2'ïc(tj; — <p)sinaTc^; comme on a lo = o, il en résulte qu^ine perte de travail égale à 7 LI^ par période ou LIJ par tour.
9. On pourrait, au contraire, disposer de i( de manière à rompre le circuit sur une intensité nulle et éviter ainsi l'étincelle; c'est un point important pour la durée des appareils. La condition I| = o donne
tang27c(\|^ — cp) =
sin^-ït^
cosu
Dans le cas où y^= o, on en déduit ^ = f cl la courbe du courant se confond avec la sinusoïde de l'état permanent; mais elle est repliée suivant l'axe de manière que toutes les coordonnées soient de même signe.
10. Prenons maintenant un cas plus intéressant comme étant le cas ordinaire de la pralique, celui où les balais ne quittent jamais à la fois les deux moitiés de la bague. Pendant l'intervalle '^T ils appuient en même temps sur les deux parties et ferment par une résistance p, toujours 1res petite, le cadre et le circuit extérieur. Le circuit est alors formé de deux boucles tangentes ayant pour partie commune la résistance p. Au bout de l'intervalle yT, cette communication est rompue; les deux circuits n'en forment plus qu'un seul et la période recommence.
11. Examinons d'une manière générale le problème relatif à cette succession de phénomènes.
MACHINES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 3oi
Soient A et B deux circuits ayant une résistance commune p ; e et e' sont les forces électromotrices qui agissent dans chacun d'eux; L et Ules coefficients de self-induction; M le coefficient d'induction mutuelle.
Si Ton appelle i l'intensité dans le premier circuit, f l'intensité dans le second et i| l'intensité dans la partie commune, on a les trois équations
Rt-f-pt'i -4- ^(L» -hMr) — e = o,
i = i -f- II.
Supposons d'abord les résistances constantes, ainsi que les coefficients d'induction ; en posant
P = LL'— M«, Q = (R'-H p)L -+- (R -f- p)L'-H apM, S = RR'-h p(R -+- R'), la séparation des variables conduit aux. deux équations
r^d^a r^dH e • / n \ i • <f c' - . de
P:5ïr+Qrf? + S.-(R + p)e'-pe-L^-f-M^ = o.
Si Ton admet que les forces électromotrices soient sinusoïdales et de môme période et que l'on pose
6 = eosin(m^ — 8), e'= e'^ sin(m/ — 8'),
les solutions sont de la forme
i = asin(m^ — a) -+- Ge^'-f- G'eT'', * = a'sin(m/ — a') -h KeT/-|- K'eT''.
Les exposants y et y' sont les racines de l'équation du second
degré
Py'h-Qy + S = o,
racines qui sont toujours réelles et négatives. Les constantes arbitraires G, G', K et K' sont liées par les conditions
Kt R-4-p-f.LY k;^ R-^p-^Lf H« ■" R'-h-p^-L'y' h* ~" R'-hp-hLY'
3oa J. JOUBERT.
fournies par la substitution des valeurs de i et i dans les équations (12).
Si Ton pose
(R'-h p) Co sinS -H p«Q sin8' — mVeo cos§ -h mMûQ cos8'= U, (R'-h p)eo cos8-i- pcQ co88'-+- mVeo sinS — mMe^ sînS' = V,
et que l'on désigne par U' et V les expressions analogues où les accents sont permutés, on a
«* = Tn TiTTz rrrr» « * =
et, en remplaçant ^__ ^p partang^,
tang(a— P)= ^7 tang(a'— p) = ^^
12. On peut admettre, dans le cas que nous avons à considérer, que les deux parties successives dans lesquelles se décompose la période correspondent respectivement à p = 00 et p = o. L'hypothèse p = o introduite dans les formules montre, comme cela est du reste évident, que les choses se passent dans les deux circuits comme s'ils étaient indépendants. Celle de p == 00 rend naturellement identiques les valeurs de i et de H, avec les valeurs de a et de a trouvées précédemment pour un seul circuit (3).
13. Quant au passage du premier état au second, on peut admettre qu'il s'effectue dans un temps très court t; on aura, en intégrant pour cet intervalle les équations différentielles (la) et les ajoutant,
[Rt -+- RT— (e — e')] dt -h [(L -f- M)* -+- (L'-4- M)i']; = o.
Si l'on suppose t infiniment petit, le premier terme est négligeable devant le second, et il reste, en appelant lo l'intensité initiale dans le circuit unique et l'o et i^ les intensités avant le changement, dans les deux circuits tangents,
(i3) (L -+- L'-f- aM )Io = (L -f- IVr)io -+- (L'-f- M)^;.
MACHINES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 3o3
On peut donc dire, avec Maxwell (*), que la quantité de mouve^ ment électromagnétique du circuit entier est égale à la somme des quantités de mouvement électromagnétique que possédait chaque circuit avant la réunion.
Ce changement brusque est accompagné d'une perte d'énergie qui a pour valeur
- (Lto-+-Mi'o)to-h -(L't'o-hMto)i'o (L-H L'-4-2M)i;
^ Jb a
