I LL'— M« ,. .V
14. Revenons maintenant à notre cadre. Nous pouvons supposer que le circuit extérieur ne renferme pas de force électromotrice et qu'il a un coefficient de self-induction nul. La condition L'=o entraîne M = o; cette dernière condition pourrait d'ailleurs être satisfaite indépendamment de la première. On a, par suite, lo = 'o ^u moment de la séparation des circuits et Ii == i{ au moment de leur jonction ; en outre, la perte d'énergie relative à l'une ou l'autre de ces transformations est nulle.
En posant comme plus haut,
R a«L ^ Eo
a=Y, tang'iuç = -^7=-, A =
, r ^ f airL ., E©
a'= |-, tangaircp = — j-> A' =
vA^
r étant la résistance du cadre seul, on a, pour les intensités correspondant aux deux parties de la période, les équations
[ I = Cc-«'-4- Asinaic^TK — <p j,
et, pour déterminer les constantes et les valeurs limites, les con-
(') Phil. Âfag, (IV), t. I, p. 474-479 î '867. — Journal de Physique (II), « I, p. 20.
3o4 J. JOUBERT.
ditions
, lo= Cc-*4T^, Asin27r(ij/ — ç),
\ I, = Ce"" (*■*" » '^r — A sinîi7r(4; — cp — x), jl, = Ce ''V'^"^* ^r — A'sina:î(4/ — cp'— X)i
maïs il faut remarquer que, une fois le régime établi, l'inteDsité finale I2 du courant dans le cadre est égale et de signe contraire à rintensité initiale Iq. La dernière équation doit donc s'écrire
lo. Supposons d'abord que la durée y^T de la seconde partie de la période soit négligeable. Les équations (16) donnent
et, par suite,
la formule de l'intensité se réduit à celle de l'état permanent. Ce résultat pouvait être prévu : le régime est alors pour le cadre celui de l'état permanent, le commutateur n'ayant d'autre effet que de changer le sens du courant dans le circuit extérieur, c'està-dire dans un circuit sans induction.
Quant à la quantité d'électricité qui traverse le circuit dans un sens déterminé, elle a pour expression
AT
q = cosa7c(4' — 9);
elle dépend de l'instant de la commutation et est évidemment maximum pour
on a alors la sinusoïde repliée dont il a été question plus haut (g). Pour ^= — h f , on aurait, au contraire, une somme nulle.
16. Supposons maintenant ^ différent de zéro; si, pour abréger
MACHINES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 3o5
l'écriture, on pose
F = J cosa7r(«p -t-x) — ^'* cosaito j- [cos2'jr(ç'-4-x) — ^^ cosa?:^'] !
X — =r — tang2TC(ï) -f- sin27r(«p-i- x)~*" sinaitcp,
G = — [ sinaTr(© -4- x) — ^'* sinairo j- [sinait(<j>'-4-x) — ^^ sinaTto']!
I ~— c'^ X — =r — tangaitç -4- cos27r((p -+- y) + cosa-rccp,
on trouve pour la quantité d'électricité qui durant chaque pé-
Fig. i.
riode traverse le circuit extérieur, l'expression
AT
q = — (GcosaTT^I^-t- Fsinair<l),
3o6 J. JOUBERT.
et pour la valeur de ^ qui rend cette quantité maximum
(19) tangaTt4/ = ^.
On en déduit
(ao) y» = TT v/i-'» + G«.
17. II est intéressant de comparer les résultats des divers modes de commutation que nous venons d'analyser, ha. Jig, 1 résume ces résultats pour le cadre déjà mentionné tournant à la vitesse de 10 tours par seconde. Les courbes Q représentent la quantité d'électricité par période (o*^°"*,i par division); les courbes W le travail électromagnétique total (0*^6"»,! par division); les courbes Wj le travail perdu. Les lettres sans accent sont relatives au cas où le circuit n'est jamais rompu (14); celles qui portent un accent, au cas oCi la position des balais est déterminée par la condition que le courant soit maximum (8); celles qui en ont deux, à celui où les balais sont placés de manière à supprimer l'étincelle (9). Dans ce dernier cas, la quantité d'électricité produite est notablement plus petite, mais le rendement est plus grand. On n'a en effet ni la perte W2 correspondant dans le premier cas au travail qu'absorbe le cadre quand il est fermé sur lui-même, ni la perte W,, qui correspond dans le second à l'étincelle de rupture. On voit d'ailleurs qu'il y a toujours avantage à réduire autant que possible la durée y T de la seconde partie de la période.
IL — Cadre avec force électromotrice extérieure.
18. Nous allons supposer maintenant que le circuit extérieur renferme une force électromotrice. Considérons d'abord une force électromotrice constante, celle d'une pile, par exemple; l'équation différentielle du courant devient
et donne, en conservant toujours les mêmes notations,
MACHINES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. 307
S^ii n'y a pas de commutateur, Tintensité du régime permanent se réduit à
1 = Asinair/^ — (pW-;
le courant induit se superpose donc avec son signe au courant de la pile; il est évident que les deux courants sont, alternativement, de même sens et de sens contraires, et que le courant résultant change ou non de signe suivant leur valeur relative. L'action sur un galvanomètre interposé dans le circuit est celle de la pile agissant seule dans le même circuit immobile. Remarquons en passant que cette expérience fournit une vérification complète des lois d'Ohm, et montre que la résistance d'un conducteur est indépendante de l'intensité du courant qui le traverse et de l'état de repos ou de mouvement dans lequel il se trouve.
Si, après avoir multiplié l'équation (21) par I, on l'intègre pour une période entière, correspondant ici à un tour complet, on a
/ El dt = I Idq-^R I i2rf^-f-iL[I«].
Le dernier terme est nul, l'intensité ayant la même valeur aux
limites ; le terme / I rfQ est égal à > c'est-à-dire au travail
calorifique du courant d^induction; on trouve d'ailleurs
(.3) Rjr"'l.rf/ = R(|;-^)T;
on a donc finalement
Eldt= ^T,
c'est-à-dire que le travail de la pile se réduit au travail calorifique qu'elle produirait dans le circuit immobile, résultat évident a priori.
Dans ces conditions la machine est donc sans application; elle ne peut produire de résultat utile que si le sens de l'une des forces électromotrices est changé à chaque demi-tour.
19. Ce changement de sens se produit de lui-même quand la force électromotrice est une force électro motrice de polarisation ,
3o8 J. JOUBERT.
quand, par exemple, on înlercaie dans le circuit un voltamètre ou un arc électrique. Pendant chaque période la force électromotrice de polarisation commence par être nulle; elle croît rapidement jusqu^à une certaine valeur limite, reste ensuite sensiblement constante, puis va en décroissant, redevient nulle et repasse par les mêmes phases, en sens contraire, pendant la période suivante (*).
Il y a donc deux parties a distinguer dans la période : celle où la force contre-électromotrice e est constante, et celle où elle varie de -f- e à — e. Tant que l'on ne connaît pas la loi de variation de la force éleclromotrice , on ne peut traiter le problème d'une manière complète.
Je considérerai seulement le cas particulier où la force électromotrice d'induction reste notablement au-dessous de la valeur maximum de la force électromotrice de polarisation. On peut alors admettre avec M. Kohlrausch (^) que la force éleclromotrice de polarisation est à chaque instant proportionnelle à la quantité d'électricité qui a traversé le circuit, et poser
(24) e —p I I dtf
p étant l'inverse d'une capacité. L'équation du courant est alors
= Eo sin 27: 7p —p j I
